集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ と $B = \{a, b, c\}$ が与えられています。 関係 $R_1, R_2, R_3, R_4$ について、それぞれの商集合を求める問題です。 $R_1 = \{(x, y) \in A \times A \mid x \mod 3 = y \mod 3\}$ $R_2 = \{(x, y) \in A \times A \mid x \mod 4 = y \mod 4\}$ $R_3 = \{(x, y) \in A \times A \mid x + y \text{ が偶数である}\}$ $R_4 = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)\}$

1. 問題の内容

集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ と $B = \{a, b, c\}$ が与えられています。

関係 $R_1, R_2, R_3, R_4$ について、それぞれの商集合を求める問題です。

$R_1 = \{(x, y) \in A \times A \mid x \mod 3 = y \mod 3\}$

$R_2 = \{(x, y) \in A \times A \mid x \mod 4 = y \mod 4\}$

$R_3 = \{(x, y) \in A \times A \mid x + y \text{ が偶数である}\}$

$R_4 = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)\}$

2. 解き方の手順

(1) $R_1$ について:

$x \mod 3 = y \mod 3$ となるような $(x, y)$ の組を集めた関係です。

$A$ の要素を $3$ で割った余りを考えると、$0, 1, 2$ のいずれかになります。

したがって、$R_1$ による $A$ の商集合は、余りが $0, 1, 2$ である要素の集合に分割されます。

$A_0 = \{3, 6, 9\}$, $A_1 = \{1, 4, 7, 10\}$, $A_2 = \{2, 5, 8\}$ とすると、

商集合は $\{A_0, A_1, A_2\}$ となります。

(2) $R_2$ について:

$x \mod 4 = y \mod 4$ となるような $(x, y)$ の組を集めた関係です。

$A$ の要素を $4$ で割った余りを考えると、$0, 1, 2, 3$ のいずれかになります。

したがって、$R_2$ による $A$ の商集合は、余りが $0, 1, 2, 3$ である要素の集合に分割されます。

$A_0 = \{4, 8\}$, $A_1 = \{1, 5, 9\}$, $A_2 = \{2, 6, 10\}$, $A_3 = \{3, 7\}$ とすると、

商集合は $\{A_0, A_1, A_2, A_3\}$ となります。

(3) $R_3$ について:

$x + y$ が偶数となるような $(x, y)$ の組を集めた関係です。

$x + y$ が偶数であるのは、$x$ と $y$ がともに偶数であるか、または $x$ と $y$ がともに奇数であるときです。

$A$ の要素を偶数と奇数に分けると、

$A_{odd} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, $A_{even} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ となります。

商集合は $\{A_{odd}, A_{even}\}$ となります。

(4) $R_4$ について:

関係 $R_4$ は集合 $B$ 上の関係です。

$R_4 = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)\}$ は、同値関係ではありません。

例えば、$a R_4 b$ かつ $b R_4 a$ ですが、$R_4$ が推移律を満たさないため、同値関係ではありません。

$R_4$ の商集合を計算するには、まず、$B$の要素が$R_4$によってどのように関連付けられているかを確認する必要があります。

$a R_4 a, b R_4 b, c R_4 c, a R_4 b, b R_4 a$が与えられているので、$a$と$b$は同じ同値類に属し、$c$は別の同値類に属します。

したがって、商集合は$\{\{a, b\}, \{c\}\}$となります。

3. 最終的な答え

$R_1$ の商集合: $\{\{3, 6, 9\}, \{1, 4, 7, 10\}, \{2, 5, 8\}\}$

$R_2$ の商集合: $\{\{4, 8\}, \{1, 5, 9\}, \{2, 6, 10\}, \{3, 7\}\}$

$R_3$ の商集合: $\{\{1, 3, 5, 7, 9\}, \{2, 4, 6, 8, 10\}\}$

$R_4$ の商集合: $\{\{a, b\}, \{c\}\}$