集合 $A = \{a, b, c, d, e, f\}$ と、A上の関係 $R = \{(a, a), (b, b), (b, c), (b, e), (c, b), (c, c), (c, e), (d, d), (d, f), (e, b), (e, c), (e, e), (f, d), (f, f)\}$ が与えられています。この関係 $R$ による商集合 $A/R$ を求める問題です。
2025/7/3
1. 問題の内容
集合 と、A上の関係 が与えられています。この関係 による商集合 を求める問題です。
2. 解き方の手順
商集合 は、関係 による同値類の集合です。まず、 が同値関係かどうかを確認する必要があります。
- 反射律: が に含まれているので、反射律は満たされています。
- 対称律: ならば である必要があります。同様に、 ならば であり、 ならば である必要があります。これらはすべて に含まれているので、対称律は満たされています。
- 推移律: かつ ならば である必要があります。また、 かつ ならば である必要があります。
同様に、 かつ ならば である必要があります。
は推移律を満たします。
したがって、 は同値関係です。
次に、各要素の同値類を求めます。
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したがって、異なる同値類は です。
商集合 はこれらの同値類の集合です。