集合 $A = \{a, b, c, d, e, f\}$ と、A上の関係 $R = \{(a, a), (b, b), (b, c), (b, e), (c, b), (c, c), (c, e), (d, d), (d, f), (e, b), (e, c), (e, e), (f, d), (f, f)\}$ が与えられています。この関係 $R$ による商集合 $A/R$ を求める問題です。

1. 問題の内容

集合 $A = \{a, b, c, d, e, f\}$ と、A上の関係 $R = \{(a, a), (b, b), (b, c), (b, e), (c, b), (c, c), (c, e), (d, d), (d, f), (e, b), (e, c), (e, e), (f, d), (f, f)\}$ が与えられています。この関係 $R$ による商集合 $A/R$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商集合 $A/R$ は、関係 $R$ による同値類の集合です。まず、$R$ が同値関係かどうかを確認する必要があります。

- 反射律: $(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (f, f)$ が $R$ に含まれているので、反射律は満たされています。

- 対称律: $(b, c) \in R$ ならば $(c, b) \in R$ である必要があります。同様に、$(b, e) \in R$ ならば $(e, b) \in R$ であり、$(d, f) \in R$ ならば $(f, d) \in R$ である必要があります。これらはすべて $R$ に含まれているので、対称律は満たされています。

- 推移律: $(b, c) \in R$ かつ $(c, e) \in R$ ならば $(b, e) \in R$ である必要があります。また、 $(b, b)\in R$ かつ $(b, c) \in R$ ならば $(b, c)\in R$ である必要があります。

同様に、$(d, f) \in R$ かつ $(f, d) \in R$ ならば $(d, d)\in R$ である必要があります。

$R$は推移律を満たします。

したがって、$R$ は同値関係です。

次に、各要素の同値類を求めます。

- $[a] = \{x \in A \mid (x, a) \in R\} = \{a\}$

- $[b] = \{x \in A \mid (x, b) \in R\} = \{b, c, e\}$

- $[c] = \{x \in A \mid (x, c) \in R\} = \{b, c, e\}$

- $[d] = \{x \in A \mid (x, d) \in R\} = \{d, f\}$

- $[e] = \{x \in A \mid (x, e) \in R\} = \{b, c, e\}$

- $[f] = \{x \in A \mid (x, f) \in R\} = \{d, f\}$

したがって、異なる同値類は $\{a\}, \{b, c, e\}, \{d, f\}$ です。

商集合 $A/R$ はこれらの同値類の集合です。

$A/R = \{\{a\}, \{b, c, e\}, \{d, f\}\}$

3. 最終的な答え

$A/R = \{\{a\}, \{b, c, e\}, \{d, f\}\}$