$a$ を定数とするとき、不等式 $ax + 2 \ge x + 2a$ を解け。

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、不等式 $ax + 2 \ge x + 2a$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。

$ax - x \ge 2a - 2$

$(a - 1)x \ge 2(a - 1)$

次に、$a-1$ の符号で場合分けします。

(i) $a - 1 > 0$、つまり $a > 1$ のとき：

不等式の両辺を $a - 1$ で割ると、

$x \ge \frac{2(a - 1)}{a - 1}$

$x \ge 2$

(ii) $a - 1 < 0$、つまり $a < 1$ のとき：

不等式の両辺を $a - 1$ で割ると、不等号の向きが変わるので、

$x \le \frac{2(a - 1)}{a - 1}$

$x \le 2$

(iii) $a - 1 = 0$、つまり $a = 1$ のとき：

不等式は $0 \cdot x \ge 0$ となり、これはすべての $x$ に対して成り立ちます。

したがって、$x$ はすべての実数。

3. 最終的な答え

$a > 1$ のとき、$x \ge 2$

$a < 1$ のとき、$x \le 2$

$a = 1$ のとき、すべての実数