## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題108と110について、集合A,Bに関するいくつかの問題を解きます。

問題108：

* 集合 $A = \{x | x + 1 > 0\}$

* 集合 $B = \{x | |x| \le 2\}$

(1) $A \cap B$ (AとBの共通部分)を求める。

(2) $A \cup B$ (AとBの和集合)を求める。

問題110：

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合A, Bについて、以下が与えられています。

* $\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 9\}$ (Aの補集合とBの補集合の共通部分)

* $A \cap B = \{5, 7\}$ (AとBの共通部分)

* $\overline{A} \cap B = \{2, 4, 8\}$ (Aの補集合とBの共通部分)

(1) $A \cup B$ (AとBの和集合)を求める。

(2) Bを求める。

(3) Aを求める。

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2. 解き方の手順

### 問題108

(1) $A \cap B$

まず、集合AとBを具体的に表します。

$A = \{x | x > -1\}$

$B = \{x | -2 \le x \le 2\}$

したがって、$A \cap B = \{x | -1 < x \le 2\}$

(2) $A \cup B$

$A \cup B = \{x | x > -1 \text{ または } -2 \le x \le 2\} = \{x | x \ge -2\}$

### 問題110

(1) $A \cup B$

ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ であるから、

$\overline{A \cup B} = \{1, 9\}$ となります。

したがって、$A \cup B = U - \overline{A \cup B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 9\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(2) B

$\overline{A} \cap B = \{2, 4, 8\}$ であり、$A \cap B = \{5, 7\}$である。

BはAとBの共通部分とAの補集合とBの共通部分の和集合であるから、

$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B) = \{5, 7\} \cup \{2, 4, 8\} = \{2, 4, 5, 7, 8\}$

(3) A

$A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

$B = \{2, 4, 5, 7, 8\}$

AはAとBの和集合からBを除いたものに、AとBの共通部分を加えたものになります。

$A = (A \cup B) - B \cup (A \cap B) = (\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} - \{2, 4, 5, 7, 8\}) \cup \{5, 7\} = \{3, 6\} \cup \{5, 7\} = \{3, 5, 6, 7\}$

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3. 最終的な答え

問題108：

(1) $A \cap B = \{x | -1 < x \le 2\}$

(2) $A \cup B = \{x | x \ge -2\}$

問題110：

(1) $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(2) $B = \{2, 4, 5, 7, 8\}$

(3) $A = \{3, 5, 6, 7\}$