3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 9x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 9x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + a$ とおく。

3次方程式 $f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つためには、$f(x)$ が極値を持ち、極大値または極小値のいずれか一方が0になる必要がある。

(2) $f(x)$ を微分する。

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$

(3) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 6x - 9 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

(4) $x = 3, -1$ における $f(x)$ の値を求める。

$f(3) = 3^3 - 3(3^2) - 9(3) + a = 27 - 27 - 27 + a = a - 27$

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + a = -1 - 3 + 9 + a = a + 5$

(5) $f(x)$ が極値を持ち、異なる2つの実数解を持つためには、以下のいずれかが成り立つ必要がある。

(i) $f(3) = 0$ または (ii) $f(-1) = 0$

(i) $f(3) = a - 27 = 0$ のとき、$a = 27$。

このとき、$f(-1) = 27 + 5 = 32 \neq 0$。

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = (x-3)(x^2-9) = (x-3)(x-3)(x+3)$

$f(x) = (x-3)^2(x+3) = 0$ となるのは $x=3$ (重解) と $x=-3$ であるため、異なる2つの実数解を持つ。

(ii) $f(-1) = a + 5 = 0$ のとき、$a = -5$。

このとき、$f(3) = -5 - 27 = -32 \neq 0$。

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 5 = (x+1)(x^2-4x-5) = (x+1)(x+1)(x-5)$

$f(x) = (x+1)^2(x-5) = 0$ となるのは $x=-1$ (重解) と $x=5$ であるため、異なる2つの実数解を持つ。

3. 最終的な答え

$a = 27, -5$