4次方程式 $3x^4 + 4x^2 - k = 0$ が異なる2つの実数解を持つような、$k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

4次方程式 $3x^4 + 4x^2 - k = 0$ が異なる2つの実数解を持つような、$k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = t$ とおくと、$t \ge 0$ である。すると与えられた方程式は

$3t^2 + 4t - k = 0$

となる。この2次方程式が以下のいずれかの条件を満たせば良い。

(1) 正の解と負の解を持つ。

(2) 正の重解を持つ。

(3) 正の解と $t = 0$ の解を持つ (このとき $x^2=0$ は重解となり、異なる実数解は2つとなる)。

(1) $3t^2 + 4t - k = 0$ が正の解と負の解を持つとき、解と係数の関係より、解の積が負になればよい。解の積は $-k/3$ なので、$-k/3 < 0$ つまり $k > 0$ となる。

(2) $3t^2 + 4t - k = 0$ が正の重解を持つとき、判別式を $D$ とすると、

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-k) = 16 + 12k = 0$

より $k = -4/3$ となる。このとき、$3t^2 + 4t + 4/3 = 0$ より、$9t^2 + 12t + 4 = (3t + 2)^2 = 0$ なので $t = -2/3$ となり、$t \ge 0$ を満たさないので不適である。

(3) $3t^2 + 4t - k = 0$ が正の解と $t = 0$ の解を持つとき、$t = 0$ を代入すると $-k = 0$ より、$k = 0$ となる。

このとき、$3t^2 + 4t = t(3t + 4) = 0$ となるので、$t = 0$ と $t = -4/3$ となり、$t \ge 0$を満たすのは$t=0$だけである。したがって $x^2 = 0$ より $x = 0$ (重解) なので、異なる実数解の個数が2つにならない。これは不適である。

しかし、$3t^2+4t-k=0$ が$t=0$を解にもち、かつ正の解を持つ場合を考える。$k=0$のとき、$3t^2+4t=0$より、$t(3t+4)=0$となるので、$t=0, -4/3$となり、$t \geq 0$を満たすのは$t=0$のみである。$x^2=0$より、$x=0$となり、実数解は1つだけなので不適。

$3t^2+4t-k=0$ が異なる2つの正の実数解を持つ場合を考える。このとき、$t \geq 0$なので、$x = \pm \sqrt{t}$となり、異なる実数解の個数は4つとなるので不適。

判別式 $D > 0$ かつ 解の和 $> 0$ かつ 解の積 $> 0$ のとき2つの正の実数解を持つ。

$D = 16+12k > 0 \Rightarrow k > -4/3$

解の和は $-4/3 > 0$ (これは矛盾)

解の積は $-k/3 > 0 \Rightarrow k < 0$

したがって、$-4/3 < k < 0$ となる。

このとき、$x = 0$ が解になるのは $k = 0$ のときなので、$k \ne 0$ である必要がある。

$k > 0$ の場合、正の解と負の解を持つので、$x^2 = t$ より、$x = \pm \sqrt{t}$ なので、異なる実数解の個数は4つとなる。

3. 最終的な答え

$k > 0$