4次方程式 $3x^4 + 4x^3 - k = 0$ が異なる2つの実数解をもつような、$k$の値の範囲を求める問題です。選択肢は、$k < -1$ と $k > -1$ の2つです。

1. 問題の内容

4次方程式 $3x^4 + 4x^3 - k = 0$ が異なる2つの実数解をもつような、$k$の値の範囲を求める問題です。選択肢は、$k < -1$ と $k > -1$ の2つです。

2. 解き方の手順

$f(x) = 3x^4 + 4x^3 - k$ とおきます。

$f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つためには、$f(x)$ が極値を持ち、その極値のうち一つが0でなければなりません。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 12x^3 + 12x^2 = 12x^2(x+1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$12x^2(x+1) = 0$

したがって、$x = 0, -1$ です。

$x=-1$ のとき、$f(-1) = 3(-1)^4 + 4(-1)^3 - k = 3 - 4 - k = -1 - k$

$x=0$ のとき、$f(0) = 3(0)^4 + 4(0)^3 - k = -k$

異なる2つの実数解を持つためには、$f(-1) = 0$ または $f(0) = 0$ のいずれかが成立する必要があります。

場合1: $f(-1) = 0$ のとき、$-1 - k = 0$ より $k = -1$

このとき、$f(0) = -(-1) = 1 \neq 0$ であるため、異なる2つの実数解を持ちます。

場合2: $f(0) = 0$ のとき、$-k = 0$ より $k = 0$

このとき、$f(-1) = -1 - 0 = -1 \neq 0$ であるため、異なる2つの実数解を持ちます。

$f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つためには、極値の符号が異なり、かつどちらかが0である必要があります。$f(x)$は、$x = -1$ で極値をとり、$x = 0$ で停留点をとります。

$k = -1$のとき、$f(x) = 3x^4 + 4x^3 + 1 = (x+1)^2(3x^2 - 2x + 1)$となります。$3x^2 - 2x + 1$ の判別式は、 $(-2)^2 - 4*3*1 = 4 - 12 = -8 < 0$ なので、実数解をもちません。よって、実数解は、$x=-1$のみとなります。

$k=0$のとき、$f(x) = 3x^4 + 4x^3 = x^3(3x+4) = 0$。このとき、$x = 0, -4/3$ となり、異なる2つの実数解を持ちます。

問題文は「異なる2つの実数解をもつ"ような" $k$ の値の範囲を求めよ」となっているので、k=-1の時に異なる実数解が2つ「ではない」から、k>-1ではないと考えることができます。なぜならば、k<-1のときに条件を満たすことがあれば、k>-1であることはありえないからです。

$k=-2$のとき、$f(x) = 3x^4 + 4x^3 + 2 = 0$. $f(-2) = 3*16 - 4*8 + 2 = 48 - 32 + 2 = 18 > 0$。$f(-1) = 3 - 4 + 2 = 1$. $f(0) = 2 > 0$. 微分すると、$f'(x) = 12x^3 + 12x^2 = 12x^2(x+1)$. したがって、このとき解は2つあるとは限りません。

$f(x)=3x^4+4x^3-k$. $f'(x)=12x^3+12x^2=12x^2(x+1)$. $f''(x)=36x^2+24x=12x(3x+2)$.

極値候補$x=0$ and $x=-1$.

$x=0$の近傍では$x<0$で$f'(x)<0$ and $x>0$で$f'(x)>0$なので、極小.

$x=-1$の近傍では$x<-1$で$f'(x)<0$ and $x>-1$で$f'(x)>0$なので、極小.

もし、$f(x)=0$が異なる2つの解を持つならば、$f(0)=f(-1)=0$はありえないので、どちらか片方が0である必要があります。

極値は$f(0)=-k$ and $f(-1)=-1-k$.

$f(x)=3x^4+4x^3$. 二つの解は$3x^4=-4x^3$ then $3x=-4$ then $x=-4/3$ and $x=0$.

したがって、正解は、$k>-1$です。

3. 最終的な答え

k > -1