$a \neq 0$ のとき、式 $(1+x+ax^2)^6$ を展開したときの $x^4$ の係数が最小となる $a$ の値を求め、その最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a \neq 0$ のとき、式 $(1+x+ax^2)^6$ を展開したときの $x^4$ の係数が最小となる $a$ の値を求め、その最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$(1+x+ax^2)^6$ を多項定理を用いて展開し、$x^4$ の係数を求めます。

$(1+x+ax^2)^6 = \sum_{p+q+r=6} \frac{6!}{p!q!r!} 1^p x^q (ax^2)^r = \sum_{p+q+r=6} \frac{6!}{p!q!r!} a^r x^{q+2r}$

$x^4$ の係数を求めるためには、$q+2r = 4$ となるような $p, q, r$ を探します。ただし、$p+q+r=6$ を満たす必要があります。

考えられる組み合わせは次の３つです。

(i) $r=0, q=4$ のとき、$p=6-4-0=2$。 係数は $\frac{6!}{2!4!0!} a^0 = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$

(ii) $r=1, q=2$ のとき、$p=6-2-1=3$。 係数は $\frac{6!}{3!2!1!} a^1 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{2} a = 60a$

(iii) $r=2, q=0$ のとき、$p=6-0-2=4$。 係数は $\frac{6!}{4!0!2!} a^2 = \frac{6 \cdot 5}{2} a^2 = 15a^2$

したがって、$x^4$ の係数は、$15 + 60a + 15a^2 = 15(a^2 + 4a + 1)$ となります。

$f(a) = 15(a^2 + 4a + 1)$ とおくと、$f(a) = 15((a+2)^2 - 4 + 1) = 15((a+2)^2 - 3) = 15(a+2)^2 - 45$ となります。

$f(a)$ は $a=-2$ のときに最小値 $-45$ をとります。

3. 最終的な答え

$a = -2$ のとき最小値 $-45$ をとる。