4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ の正の解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ の正の解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

デカルトの符号律を用いて、正の解の個数を推定します。

デカルトの符号律とは、多項式の実数解の個数に関する定理で、多項式の係数の符号の変化の回数を数えることで、正の解の個数の上限を求めることができます。

与えられた多項式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ の係数の符号を順に見ていくと、

+3, -4, -12, +5 となります。

符号の変化は、+3から-4、そして-12から+5の2回です。

したがって、この方程式の正の解の個数は、2個または0個である可能性があります。

次に、$x=0$のとき、$3(0)^4 - 4(0)^3 - 12(0)^2 + 5 = 5 > 0$ です。

$x \to \infty$のとき、$3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 \to \infty$ です。

$x=1$のとき、$3(1)^4 - 4(1)^3 - 12(1)^2 + 5 = 3 - 4 - 12 + 5 = -8 < 0$ です。

$x=2$のとき、$3(2)^4 - 4(2)^3 - 12(2)^2 + 5 = 3(16) - 4(8) - 12(4) + 5 = 48 - 32 - 48 + 5 = -27 < 0$ です。

$x=3$のとき、$3(3)^4 - 4(3)^3 - 12(3)^2 + 5 = 3(81) - 4(27) - 12(9) + 5 = 243 - 108 - 108 + 5 = 32 > 0$ です。

$x=0$で正、x=1で負、x=3で正なので、$0$と$1$の間に少なくとも1つの解、$1$と$3$の間に少なくとも1つの解が存在します。したがって正の解は少なくとも2つ存在します。

デカルトの符号律から正の解の個数は2個または0個である可能性が示唆されましたが、少なくとも2個の正の解が存在することがわかりました。したがって正の解の個数は2個です。

3. 最終的な答え

2個