YOKOHAMAという8文字の文字列について、以下の3つの並べ方の数を求める問題です。 (1) すべての並べ方 (2) Y, K, Hが隣り合う並べ方 (3) 2つのMが2つのOよりも右側にある並べ方

1. 問題の内容

YOKOHAMAという8文字の文字列について、以下の3つの並べ方の数を求める問題です。

(1) すべての並べ方

(2) Y, K, Hが隣り合う並べ方

(3) 2つのMが2つのOよりも右側にある並べ方

2. 解き方の手順

(1) すべての並べ方

YOKOHAMAの8文字のうち、Oが2つ、Aが2つ、Mが1つ、Yが1つ、Kが1つ、Hが1つです。

すべての並べ方は、同じ文字の並び順を考慮して、次のように計算します。

$\frac{8!}{2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 6 = 10080$

(2) Y, K, Hが隣り合う並べ方

Y, K, Hをひとまとめにして1つの文字と考えると、全部で6文字（YKH, O, O, A, A, M）を並べることになります。YKHの並び順は3!通りあります。

6文字の並べ方は、Oが2つ、Aが2つあるので、$\frac{6!}{2!2!}$通りです。

したがって、求める並べ方は、

$3! \times \frac{6!}{2!2!} = 6 \times \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = 6 \times 180 = 1080$

(3) Mが2つのOより右側にある並べ方

まず、O, O, M, M の4つの文字の並び方を考えます。この4つの文字の並び方において、2つのMが2つのOより右側にあるのは、MMOO, OM MO, OOMOの3パターンです。OとMの並び方は$\frac{4!}{2!2!} = 6$通りあり、求める並び方はそのうちの$\frac{1}{2}$なので$\frac{6}{2} = 3$通り。しかし、OMMOはMが2つのOより右側にはないため除外する必要があります。正しい並び方は、MMOOです。

求める確率は$\frac{1}{6}$になります。したがってMが2つのOより右側になるのは$\frac{1}{6}$ではありません。

すべての並べ方は10080通りであるから,

Mが2つのOより右側にある並べ方の数は$10080 \times \frac{1}{6}$になるわけではありません。

別の方法で考えます。

O2つとM2つの4文字の並び順は全部で$\frac{4!}{2!2!} = 6$通りです。その内訳は、OO MM, O MOM, OMMO, MOOM, MOMO, MMOOです。

Mが2つのOよりも右側にあるのは、MMOOのみです。

したがって、並び方の確率は$1/6$です。

残りの4文字Y, K, H, A, Aの並び方は、$\frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{2} = 12$通りです。

したがって、YOKOHAMAの並び方で、Mが2つのOよりも右側にある並べ方は、$\frac{8!}{2!2!} \times \frac{1}{6} = \frac{40320}{4} \times \frac{1}{6} = 10080 \times \frac{1}{6} = 1680$通りです。

3. 最終的な答え

(1) すべての並べ方：10080通り

(2) Y, K, Hが隣り合う並べ方：1080通り

(3) Mが2つのOより右側にある並べ方：1680通り