1から5までの数字が書かれたカードが袋に入っている。1枚カードを引いて戻した後、再び1枚カードを引く。1回目に偶数が出る事象をA、1回目に引いた数字と2回目に引いた数字の和が7の倍数になる事象をBとする。事象AとBが独立か従属かを判定する。

1. 問題の内容

1から5までの数字が書かれたカードが袋に入っている。1枚カードを引いて戻した後、再び1枚カードを引く。1回目に偶数が出る事象をA、1回目に引いた数字と2回目に引いた数字の和が7の倍数になる事象をBとする。事象AとBが独立か従属かを判定する。

2. 解き方の手順

まず、事象AとBが独立である条件を確認します。事象AとBが独立であるとは、$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ が成り立つことです。つまり、AとBが同時に起こる確率が、Aが起こる確率とBが起こる確率の積に等しい場合、AとBは独立であると言えます。

もしこの等式が成り立たなければ、AとBは従属です。

(1) 事象A（1回目に偶数が出る）が起こる確率 $P(A)$ を計算します。

1から5までの数字の中で偶数は2と4なので、偶数が出る確率は $2/5$ です。

$P(A) = \frac{2}{5}$

(2) 事象B（1回目と2回目の数字の和が7の倍数になる）が起こる確率 $P(B)$ を計算します。

1回目と2回目の数字の組み合わせは全部で $5 \times 5 = 25$ 通りです。

和が7の倍数になるのは、和が7になる場合のみです(最大でも5+5=10なので)。

和が7になる組み合わせは (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) の4通りです。

したがって、$P(B) = \frac{4}{25}$

(3) 事象AとBが同時に起こる確率 $P(A \cap B)$ を計算します。

AとBが同時に起こるのは、1回目に偶数が出て、かつ1回目と2回目の数の和が7の倍数になる場合です。

1回目に偶数が出るのは2か4です。

- 1回目が2の場合、和が7になるためには2回目は5である必要があります。

- 1回目が4の場合、和が7になるためには2回目は3である必要があります。

したがって、(2, 5), (4, 3) の2通りが条件を満たします。

$P(A \cap B) = \frac{2}{25}$

(4) $P(A)P(B)$ を計算します。

$P(A)P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{4}{25} = \frac{8}{125}$

(5) $P(A \cap B)$ と $P(A)P(B)$ を比較します。

$P(A \cap B) = \frac{2}{25} = \frac{10}{125}$

$P(A)P(B) = \frac{8}{125}$

$P(A \cap B) \neq P(A)P(B)$ なので、事象AとBは独立ではありません。

3. 最終的な答え

従属