2次方程式 $x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 = 1$ によって表される曲線の概形を求め、焦点の座標を求めよ。さらに、$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ が与えられている。

1. 問題の内容

2次方程式 $x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 = 1$ によって表される曲線の概形を求め、焦点の座標を求めよ。さらに、$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ が与えられている。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次形式を $x^T A x = 1$ と表す。ここで、$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ であり、$A$ は対称行列である。

2次形式を展開すると、

$x^T A x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = ax_1^2 + 2bx_1x_2 + cx_2^2$

問題の式と比較すると、$a=1$, $2b=4$, $c=1$ なので、$b=2$。

したがって、$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ となる。

$P^{-1}AP$ が対角行列であることから、$A$ は $P$ によって対角化可能であり、$P$ は直交行列である（固有ベクトルを正規化したもの）。したがって、$P$ は座標変換を表す回転行列である。新しい座標系を $(y_1, y_2)$ とすると、

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = P \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$

元の式は

$\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1 & y_2 \end{bmatrix} P^T A P \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = 1$

問題文から $P^T A P = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ であるから、

$-y_1^2 + 3y_2^2 = 1$

これは双曲線を表す。双曲線の標準形は $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ または $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ のいずれかである。今回の場合は $3y_2^2 - y_1^2 = 1$ なので、

$\frac{y_2^2}{(1/\sqrt{3})^2} - \frac{y_1^2}{1^2} = 1$

ここで、$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $b = 1$ である。焦点の座標は $(0, \pm c)$ であり、$c^2 = a^2 + b^2$ なので、

$c^2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

$c = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

よって、新しい座標系での焦点の座標は $(0, \pm \frac{2}{\sqrt{3}})$ となる。

固有ベクトルを求め、元の座標系に変換する必要がある。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ の固有値を求める。

$|A - \lambda I| = (1-\lambda)^2 - 4 = 0$

$\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$

$(\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 3$ と $\lambda_2 = -1$ である。

$\lambda_1 = 3$ のとき、

$\begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-2x + 2y = 0$, $x = y$ なので、固有ベクトルは $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ である。正規化すると $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\lambda_2 = -1$ のとき、

$\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$2x + 2y = 0$, $x = -y$ なので、固有ベクトルは $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ である。正規化すると $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

したがって、$P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ である。

元の座標系での焦点の座標を $(x_1, x_2)$ とすると、

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = P \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$

焦点の $y$ 座標は $(0, \pm \frac{2}{\sqrt{3}})$ なので、

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \\ \mp \frac{2}{\sqrt{3}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\ \mp \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \\ \mp \frac{\sqrt{6}}{3} \end{bmatrix}$

焦点の座標は $(\frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{\sqrt{6}}{3})$ と $(-\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ である。

3. 最終的な答え

曲線の概形：双曲線

焦点の座標：$(\frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{\sqrt{6}}{3})$, $(-\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$