与えられた9個の不等式を解き、$x$の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた9個の不等式を解き、$x$の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(x-4)^2 > 0$

$x-4 \neq 0$ より、$x \neq 4$

(2) $(x-4)^2 \geq 0$

全ての実数$x$に対して$(x-4)^2 \geq 0$ が成り立つため、$x$は全ての実数

(3) $(x-4)^2 < 0$

二乗の項は負にならないので、解なし

(4) $(x-4)^2 \leq 0$

$(x-4)^2 = 0$ となるのは、$x=4$ のときのみ

(5) $x^2 - 10x + 25 < 0$

$(x-5)^2 < 0$

二乗の項は負にならないので、解なし

(6) $9x^2 + 1 \leq 6x$

$9x^2 - 6x + 1 \leq 0$

$(3x-1)^2 \leq 0$

$(3x-1)^2 = 0$ となるのは、$3x-1 = 0$ のとき、つまり $x = \frac{1}{3}$

(7) $(x-3)^2 + 2 > 0$

$(x-3)^2$ は常に0以上なので、$(x-3)^2 + 2$ は常に2以上。したがって、全ての実数$x$に対して不等式は成り立つ。

(8) $x^2 - 2x + 5 \leq 0$

$(x-1)^2 + 4 \leq 0$

$(x-1)^2$ は常に0以上なので、$(x-1)^2 + 4$ は常に4以上。したがって、解なし

(9) $-x^2 > 2x + 2$

$0 > x^2 + 2x + 2$

$x^2 + 2x + 2 < 0$

$(x+1)^2 + 1 < 0$

$(x+1)^2$ は常に0以上なので、$(x+1)^2 + 1$ は常に1以上。したがって、解なし

3. 最終的な答え

(1) $x \neq 4$

(2) 全ての実数

(3) 解なし

(4) $x = 4$

(5) 解なし

(6) $x = \frac{1}{3}$

(7) 全ての実数

(8) 解なし

(9) 解なし