自然数 $n$ に関して、集合 $A = \{k | k$ は5で割り切れる自然数$\}$、 $B = \{k | k$ は6で割り切れる自然数$\}$とする。 (1) $n$ が $A$ に属することは、$n$ が10で割り切れるための何であるか。 (2) $n$ が $B$ に属することは、$n$ が2で割り切れるための何であるか。 (3) $n$ が $A \cap B$ に属することは、$n$ が30で割り切れるための何であるか。 選択肢は次の通り: ア 必要条件であるが、十分条件でない イ 十分条件であるが、必要条件でない ウ 必要十分条件である エ 必要条件でも、十分条件でもない
2025/6/22
1. 問題の内容
自然数 に関して、集合 は5で割り切れる自然数、 は6で割り切れる自然数とする。
(1) が に属することは、 が10で割り切れるための何であるか。
(2) が に属することは、 が2で割り切れるための何であるか。
(3) が に属することは、 が30で割り切れるための何であるか。
選択肢は次の通り:
ア 必要条件であるが、十分条件でない
イ 十分条件であるが、必要条件でない
ウ 必要十分条件である
エ 必要条件でも、十分条件でもない
2. 解き方の手順
(1) は が5で割り切れることを意味する。
が10で割り切れるならば、 は5で割り切れるので、 が10で割り切れることは、 であるための十分条件である。
しかし、 が5で割り切れるからといって、 が10で割り切れるとは限らない(例:)。
したがって、 が10で割り切れることは、 であるための必要条件ではない。
答えはイ。
(2) は が6で割り切れることを意味する。
が6で割り切れるならば、 は2で割り切れるので、 であることは、 が2で割り切れるための十分条件である。
が2で割り切れるからといって、 が6で割り切れるとは限らない(例:)。
したがって、 であることは、 が2で割り切れるための必要条件ではない。
答えはイ。
(3) は、 が5で割り切れ、かつ6で割り切れることを意味する。
5と6は互いに素なので、 が5で割り切れ、かつ6で割り切れることは、 が で割り切れることと同値である。
したがって、 であることは、 が30で割り切れるための必要十分条件である。
答えはウ。
3. 最終的な答え
(1) イ
(2) イ
(3) ウ