自然数 $n$ に関して、集合 $A = \{k | k$ は5で割り切れる自然数$\}$、 $B = \{k | k$ は6で割り切れる自然数$\}$とする。 (1) $n$ が $A$ に属することは、$n$ が10で割り切れるための何であるか。 (2) $n$ が $B$ に属することは、$n$ が2で割り切れるための何であるか。 (3) $n$ が $A \cap B$ に属することは、$n$ が30で割り切れるための何であるか。 選択肢は次の通り： ア 必要条件であるが、十分条件でない イ 十分条件であるが、必要条件でない ウ 必要十分条件である エ 必要条件でも、十分条件でもない

1. 問題の内容

自然数 $n$ に関して、集合 $A = \{k | k$ は5で割り切れる自然数$\}$、 $B = \{k | k$ は6で割り切れる自然数$\}$とする。

(1) $n$ が $A$ に属することは、$n$ が10で割り切れるための何であるか。

(2) $n$ が $B$ に属することは、$n$ が2で割り切れるための何であるか。

(3) $n$ が $A \cap B$ に属することは、$n$ が30で割り切れるための何であるか。

選択肢は次の通り：

ア 必要条件であるが、十分条件でない

イ 十分条件であるが、必要条件でない

ウ 必要十分条件である

エ 必要条件でも、十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) $n \in A$ は $n$ が5で割り切れることを意味する。

$n$ が10で割り切れるならば、$n$ は5で割り切れるので、$n$ が10で割り切れることは、$n \in A$ であるための十分条件である。

しかし、$n$ が5で割り切れるからといって、$n$ が10で割り切れるとは限らない（例：$n=5$）。

したがって、$n$ が10で割り切れることは、$n \in A$ であるための必要条件ではない。

答えはイ。

(2) $n \in B$ は $n$ が6で割り切れることを意味する。

$n$ が6で割り切れるならば、$n$ は2で割り切れるので、$n \in B$ であることは、$n$ が2で割り切れるための十分条件である。

$n$ が2で割り切れるからといって、$n$ が6で割り切れるとは限らない（例：$n=2$）。

したがって、$n \in B$ であることは、$n$ が2で割り切れるための必要条件ではない。

答えはイ。

(3) $n \in A \cap B$ は、$n$ が5で割り切れ、かつ6で割り切れることを意味する。

5と6は互いに素なので、$n$ が5で割り切れ、かつ6で割り切れることは、$n$ が $5 \times 6 = 30$ で割り切れることと同値である。

したがって、$n \in A \cap B$ であることは、$n$ が30で割り切れるための必要十分条件である。

答えはウ。

3. 最終的な答え

(1) イ

(2) イ

(3) ウ