自然数 $n$ に関して、集合 $A = \{k | k$ は5で割り切れる自然数$\}$、 $B = \{k | k$ は6で割り切れる自然数$\}$とする。 (1) $n$ が $A$ に属することは、$n$ が10で割り切れるための何であるか。 (2) $n$ が $B$ に属することは、$n$ が2で割り切れるための何であるか。 (3) $n$ が $A \cap B$ に属することは、$n$ が30で割り切れるための何であるか。 選択肢は次の通り: ア 必要条件であるが、十分条件でない イ 十分条件であるが、必要条件でない ウ 必要十分条件である エ 必要条件でも、十分条件でもない

その他集合条件必要条件十分条件整数の性質割り算
2025/6/22

1. 問題の内容

自然数 nn に関して、集合 A={kkA = \{k | k は5で割り切れる自然数}\}B={kkB = \{k | k は6で割り切れる自然数}\}とする。
(1) nnAA に属することは、nn が10で割り切れるための何であるか。
(2) nnBB に属することは、nn が2で割り切れるための何であるか。
(3) nnABA \cap B に属することは、nn が30で割り切れるための何であるか。
選択肢は次の通り:
ア 必要条件であるが、十分条件でない
イ 十分条件であるが、必要条件でない
ウ 必要十分条件である
エ 必要条件でも、十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) nAn \in Ann が5で割り切れることを意味する。
nn が10で割り切れるならば、nn は5で割り切れるので、nn が10で割り切れることは、nAn \in A であるための十分条件である。
しかし、nn が5で割り切れるからといって、nn が10で割り切れるとは限らない(例:n=5n=5)。
したがって、nn が10で割り切れることは、nAn \in A であるための必要条件ではない。
答えはイ。
(2) nBn \in Bnn が6で割り切れることを意味する。
nn が6で割り切れるならば、nn は2で割り切れるので、nBn \in B であることは、nn が2で割り切れるための十分条件である。
nn が2で割り切れるからといって、nn が6で割り切れるとは限らない(例:n=2n=2)。
したがって、nBn \in B であることは、nn が2で割り切れるための必要条件ではない。
答えはイ。
(3) nABn \in A \cap B は、nn が5で割り切れ、かつ6で割り切れることを意味する。
5と6は互いに素なので、nn が5で割り切れ、かつ6で割り切れることは、nn5×6=305 \times 6 = 30 で割り切れることと同値である。
したがって、nABn \in A \cap B であることは、nn が30で割り切れるための必要十分条件である。
答えはウ。

3. 最終的な答え

(1) イ
(2) イ
(3) ウ

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