与えられた2つの条件$p$と$q$について、命題$p \Rightarrow q$の真偽を集合を用いて調べる問題です。 (1) 実数$x$に関する条件 $p: x \le 2$ と $q: x \le 4$ (2) 自然数$m$に関する条件 $p: m$は12の正の約数, $q: m$は18の正の約数

1. 問題の内容

与えられた2つの条件$p$と$q$について、命題$p \Rightarrow q$の真偽を集合を用いて調べる問題です。

(1) 実数$x$に関する条件 $p: x \le 2$ と $q: x \le 4$

(2) 自然数$m$に関する条件 $p: m$は12の正の約数, $q: m$は18の正の約数

2. 解き方の手順

(1)

条件$p$を満たす$x$の集合を$P$、条件$q$を満たす$x$の集合を$Q$とします。

$P = \{ x | x \le 2, x \in \mathbb{R} \}$

$Q = \{ x | x \le 4, x \in \mathbb{R} \}$

$P$は$Q$の部分集合、つまり $P \subset Q$ です。

したがって、命題$p \Rightarrow q$は真です。

(2)

条件$p$を満たす$m$の集合を$P$、条件$q$を満たす$m$の集合を$Q$とします。

$P = \{ 1, 2, 3, 4, 6, 12 \}$

$Q = \{ 1, 2, 3, 6, 9, 18 \}$

$P \cap Q = \{ 1, 2, 3, 6 \}$

$P$は$Q$の部分集合ではありません。なぜなら、例えば$4 \in P$ですが、$4 \notin Q$です。

したがって、命題$p \Rightarrow q$は偽です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽