$\sqrt{3}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{12}$ が無理数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{12}$ が無理数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法を使って証明します。

$\sqrt{12}$ が有理数であると仮定します。

すると、$\sqrt{12}$ は $m$ と $n$ が互いに素な整数で $n \neq 0$ を満たす分数 $\frac{m}{n}$ で表すことができます。

$\sqrt{12} = \frac{m}{n}$

両辺を2乗すると、

$12 = \frac{m^2}{n^2}$

両辺に $n^2$ を掛けると、

$12n^2 = m^2$

$12$ は $3 \times 4$ なので、$3$ が約数に含まれています。

$m^2$ が $3$ で割り切れるので、$m$ も $3$ で割り切れます。

したがって、$m = 3k$ と表すことができます。（$k$ は整数）

これを $12n^2 = m^2$ に代入すると、

$12n^2 = (3k)^2$

$12n^2 = 9k^2$

両辺を $3$ で割ると、

$4n^2 = 3k^2$

これにより、$4n^2$ は $3$ で割り切れることがわかります。

したがって、$n^2$ も $3$ で割り切れ、$n$ も $3$ で割り切れることになります。

つまり、$m$ と $n$ はどちらも $3$ で割り切れることになります。

これは、$m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。

よって、$\sqrt{12}$ は有理数であるという仮定が間違っていたことになります。

したがって、$\sqrt{12}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{12}$ は無理数である。