22番の問題は、$ \sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3} $ であるとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $ \sin \theta \cos \theta $ (2) $ \frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\cos \theta} $ (3) $ \tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} $

1. 問題の内容

22番の問題は、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$ であるとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) $\frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\cos \theta}$

(3) $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta \cos \theta$ を求める。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$ の両辺を2乗します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{2}{3})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{4}{9}$

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9} - 1 = \frac{4}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{5}{9}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$

(2) $\frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\cos \theta}$ を求める。

$\frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\cos \theta + \sin \theta}{\sin \theta \cos \theta}$

$\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{5}{18}} = \frac{2}{3} \times (-\frac{18}{5}) = -\frac{36}{15} = -\frac{12}{5}$

(3) $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$ を求める。

$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$

$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{-\frac{5}{18}} = -\frac{18}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$

(2) $\frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = -\frac{12}{5}$

(3) $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = -\frac{18}{5}$