複素数 $z_1 = -1 + j$ と $z_2 = 1 + j$ が与えられたとき、$\frac{(z_1)^3}{(z_2)^2}$ を計算し、直交表示と極表示（$r e^{j\theta}$ または $r\angle\theta$ の形式）で表せ。

1. 問題の内容

複素数 $z_1 = -1 + j$ と $z_2 = 1 + j$ が与えられたとき、$\frac{(z_1)^3}{(z_2)^2}$ を計算し、直交表示と極表示（$r e^{j\theta}$ または $r\angle\theta$ の形式）で表せ。

2. 解き方の手順

まず、$z_1$ と $z_2$ を極形式に変換する。

$z_1 = -1 + j$ の絶対値 $|z_1|$ は $\sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ である。

$z_1$ の偏角 $\theta_1$ は $\arctan{\frac{1}{-1}} = \arctan{-1}$ である。これは第二象限にあるので、$\theta_1 = \frac{3\pi}{4}$ (または $135^{\circ}$)である。

したがって、$z_1 = \sqrt{2} e^{j\frac{3\pi}{4}}$.

$z_2 = 1 + j$ の絶対値 $|z_2|$ は $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ である。

$z_2$ の偏角 $\theta_2$ は $\arctan{\frac{1}{1}} = \arctan{1}$ である。これは第一象限にあるので、$\theta_2 = \frac{\pi}{4}$ (または $45^{\circ}$)である。

したがって、$z_2 = \sqrt{2} e^{j\frac{\pi}{4}}$.

次に、$(z_1)^3$ と $(z_2)^2$ を計算する。

$(z_1)^3 = (\sqrt{2})^3 e^{j3\frac{3\pi}{4}} = 2\sqrt{2} e^{j\frac{9\pi}{4}} = 2\sqrt{2} e^{j\frac{\pi}{4}}$.

$(z_2)^2 = (\sqrt{2})^2 e^{j2\frac{\pi}{4}} = 2 e^{j\frac{\pi}{2}}$.

したがって、$\frac{(z_1)^3}{(z_2)^2} = \frac{2\sqrt{2} e^{j\frac{\pi}{4}}}{2 e^{j\frac{\pi}{2}}} = \sqrt{2} e^{j(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2})} = \sqrt{2} e^{-j\frac{\pi}{4}}$.

最後に、直交形式に変換する。

$\sqrt{2} e^{-j\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} (\cos{(-\frac{\pi}{4})} + j\sin{(-\frac{\pi}{4})}) = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - j\frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 - j$.

3. 最終的な答え

直交表示: $1 - j$

極表示: $\sqrt{2} e^{-j\frac{\pi}{4}}$ または $\sqrt{2}\angle-\frac{\pi}{4}$ (または $\sqrt{2}\angle -45^{\circ}$)