$a+b=1$ のとき、$a^3+b^3+2=3\{1-(1-a)(1-b)\}$ を示す。

1. 問題の内容

$a+b=1$ のとき、$a^3+b^3+2=3\{1-(1-a)(1-b)\}$ を示す。

2. 解き方の手順

与えられた式 $a+b=1$ を変形して、$b=1-a$とする。

$a^3+b^3+2$ の式に代入すると、

$a^3+b^3+2 = a^3 + (1-a)^3 + 2$

$= a^3 + (1 - 3a + 3a^2 - a^3) + 2$

$= a^3 + 1 - 3a + 3a^2 - a^3 + 2$

$= 3a^2 - 3a + 3$

$= 3(a^2 - a + 1)$

次に、 $3\{1-(1-a)(1-b)\}$ の式に代入すると、

$3\{1-(1-a)(1-b)\} = 3\{1-(1-a)(1-(1-a))\}$

$= 3\{1-(1-a)(a)\}$

$= 3\{1 - (a - a^2)\}$

$= 3\{1 - a + a^2\}$

$= 3(a^2 - a + 1)$

したがって、$a^3+b^3+2 = 3\{1-(1-a)(1-b)\}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a^3+b^3+2 = 3\{1-(1-a)(1-b)\}$