2次不等式 $ax^2 + 5x + b > 0$ の解が $2 < x < 3$ となるように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + 5x + b > 0$ の解が $2 < x < 3$ となるように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次不等式 $ax^2 + 5x + b > 0$ の解が $2 < x < 3$ であることから、2次関数 $y = ax^2 + 5x + b$ のグラフは、 $x$ 軸と $x=2$ および $x=3$ で交わる上に凸の放物線であることがわかります。

したがって、$a < 0$ であり、$x=2$ と $x=3$ は $ax^2 + 5x + b = 0$ の解となります。

解と係数の関係から、$2+3 = -\frac{5}{a}$ および $2 \cdot 3 = \frac{b}{a}$ が成り立ちます。

これらの式から $a$ と $b$ の値を求めます。

まず、$2+3 = -\frac{5}{a}$ より、

$5 = -\frac{5}{a}$

両辺に $a$ を掛けて、$5a = -5$ となり、 $a = -1$ となります。

次に、$2 \cdot 3 = \frac{b}{a}$ より、

$6 = \frac{b}{a}$

$a = -1$ を代入して、$6 = \frac{b}{-1}$ となり、$b = -6$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = -6$