$x^4 - 4$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解する。

1. 問題の内容

$x^4 - 4$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 4$ を因数分解します。

有理数の範囲:

$x^4 - 4$ は、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形を利用して因数分解できます。

$x^4 - 4 = (x^2)^2 - 2^2 = (x^2 + 2)(x^2 - 2)$

よって、有理数の範囲では、$x^4 - 4 = (x^2 + 2)(x^2 - 2)$となります。

実数の範囲:

$x^2 - 2$ はさらに因数分解できます。

$x^2 - 2 = (x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})$

したがって、実数の範囲では、$x^4 - 4 = (x^2 + 2)(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})$となります。

複素数の範囲:

$x^2 + 2 = 0$ を解くと、$x^2 = -2$ となり、$x = \pm \sqrt{-2} = \pm \sqrt{2}i$ です。

したがって、$x^2 + 2 = (x + \sqrt{2}i)(x - \sqrt{2}i)$ となります。

よって、複素数の範囲では、$x^4 - 4 = (x + \sqrt{2}i)(x - \sqrt{2}i)(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})$となります。

3. 最終的な答え

有理数：$(x^2 + 2)(x^2 - 2)$

実数：$(x^2 + 2)(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})$

複素数：$(x + \sqrt{2}i)(x - \sqrt{2}i)(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})$