画像に写っている数学の問題のうち、因数分解の問題をいくつか解きます。具体的には、以下の問題を解きます。 (1) $3x^2 - 10xy - 8y^2$ (2) $(x+2y)^2 - 5(x+2y)z + 6z^2$ (3) $x^4 - 13x^2 + 36$ (4) $6a^3 - 24ab^2$ (6) $xy - x - y + 1$ (8) $x^3 + y^3$ (5) $abx^2 - (a^2+b^2)x+ab$

## 問題の回答

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題のうち、因数分解の問題をいくつか解きます。具体的には、以下の問題を解きます。

(1) $3x^2 - 10xy - 8y^2$

(2) $(x+2y)^2 - 5(x+2y)z + 6z^2$

(3) $x^4 - 13x^2 + 36$

(4) $6a^3 - 24ab^2$

(6) $xy - x - y + 1$

(8) $x^3 + y^3$

(5) $abx^2 - (a^2+b^2)x+ab$

2. 解き方の手順

(1) $3x^2 - 10xy - 8y^2$

この式は、たすき掛けを使って因数分解できます。

$3x^2 - 10xy - 8y^2 = (3x + 2y)(x - 4y)$

(2) $(x+2y)^2 - 5(x+2y)z + 6z^2$

$x+2y=A$ とおくと、式は $A^2 - 5Az + 6z^2$ となります。

これは $(A - 2z)(A - 3z)$ と因数分解できます。

$A$ を元に戻すと、

$(x+2y - 2z)(x+2y - 3z)$

(3) $x^4 - 13x^2 + 36$

$x^2 = A$ とおくと、$A^2 - 13A + 36$ となります。

これは $(A - 4)(A - 9)$ と因数分解できます。

$A$ を元に戻すと、$(x^2 - 4)(x^2 - 9)$となります。

さらに、$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$、$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$なので、

$(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$

(4) $6a^3 - 24ab^2$

$6a$ でくくると、$6a(a^2 - 4b^2)$となります。

$a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)$なので、

$6a(a - 2b)(a + 2b)$

(6) $xy - x - y + 1$

この式は、次のように変形して因数分解します。

$xy - x - y + 1 = x(y - 1) - (y - 1) = (x - 1)(y - 1)$

(8) $x^3 + y^3$

これは和の3乗の公式を使って因数分解できます。

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

(5) $abx^2 - (a^2+b^2)x + ab$

$abx^2 - a^2x - b^2x + ab$

$= ax(bx - a) - b(bx - a) = (ax - b)(bx - a)$

3. 最終的な答え

(1) $(3x + 2y)(x - 4y)$

(2) $(x + 2y - 2z)(x + 2y - 3z)$

(3) $(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$

(4) $6a(a - 2b)(a + 2b)$

(6) $(x - 1)(y - 1)$

(8) $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$

(5) $(ax - b)(bx - a)$