多項式 $f(x)$ を $x$ の2次式 $(x-a)^2$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $bx+c$ とする。このとき、等式 $f(x) = (x-a)^2 Q(x) + bx + c$ が成り立つ。この両辺を $x$ の関数とみて微分することで、$b$ と $c$ をそれぞれ $a$, $f(a)$, $f'(a)$ を用いて表す。

1. 問題の内容

多項式 $f(x)$ を $x$ の2次式 $(x-a)^2$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $bx+c$ とする。このとき、等式 $f(x) = (x-a)^2 Q(x) + bx + c$ が成り立つ。この両辺を $x$ の関数とみて微分することで、$b$ と $c$ をそれぞれ $a$, $f(a)$, $f'(a)$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式に $x=a$ を代入します。

$f(a) = (a-a)^2 Q(a) + ba + c$

$f(a) = 0 \cdot Q(a) + ba + c$

$f(a) = ba + c$

次に、与えられた式を $x$ で微分します。

$f(x) = (x-a)^2 Q(x) + bx + c$

$f'(x) = 2(x-a)Q(x) + (x-a)^2 Q'(x) + b$

この式に $x=a$ を代入します。

$f'(a) = 2(a-a)Q(a) + (a-a)^2 Q'(a) + b$

$f'(a) = 0 + 0 + b$

$f'(a) = b$

よって、$b = f'(a)$ が得られます。

これを $f(a) = ba + c$ に代入して、$c$ を求めます。

$f(a) = f'(a) a + c$

$c = f(a) - a f'(a)$

3. 最終的な答え

$b = f'(a)$

$c = f(a) - a f'(a)$