関数 $y = x^2 - 2ax - a$ （$0 \le x \le 2$）の最小値が $-2$ となるように、定数 $a$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax - a$ （$0 \le x \le 2$）の最小値が $-2$ となるように、定数 $a$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax - a = (x - a)^2 - a^2 - a$

軸は $x = a$ です。定義域は $0 \le x \le 2$ です。

最小値が $-2$ になる場合を、軸の位置によって場合分けして考えます。

(i) $a < 0$ のとき

定義域の左端 $x = 0$ で最小値をとります。

$y(0) = 0^2 - 2a(0) - a = -a = -2$

よって、$a = 2$ となりますが、$a < 0$ に矛盾するので不適です。

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき

軸 $x = a$ で最小値をとります。

$y(a) = (a - a)^2 - a^2 - a = -a^2 - a = -2$

$a^2 + a - 2 = 0$

$(a + 2)(a - 1) = 0$

$a = -2, 1$

$0 \le a \le 2$ より、$a = 1$ が適します。

(iii) $a > 2$ のとき

定義域の右端 $x = 2$ で最小値をとります。

$y(2) = 2^2 - 2a(2) - a = 4 - 4a - a = 4 - 5a = -2$

$5a = 6$

$a = \frac{6}{5} = 1.2$ となりますが、$a > 2$ に矛盾するので不適です。

したがって、$a = 1$ のみが条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a = 1$