次の3つの問題について、指定された条件を満たす定数 $m$ の値または値の範囲を求めます。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = x + m$ が共有点をもつ。 (2) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = -2x + m$ が接する。 (3) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx + 3$ が共有点をもたない。

1. 問題の内容

次の3つの問題について、指定された条件を満たす定数 $m$ の値または値の範囲を求めます。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = x + m$ が共有点をもつ。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = -2x + m$ が接する。

(3) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx + 3$ が共有点をもたない。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = x + m$ が共有点をもつ条件を求めます。

直線の式を円の式に代入すると、

$x^2 + (x + m)^2 = 1$

$x^2 + x^2 + 2mx + m^2 = 1$

$2x^2 + 2mx + m^2 - 1 = 0$

この二次方程式が実数解をもつ条件は、判別式 $D \geq 0$ であることです。

$D = (2m)^2 - 4(2)(m^2 - 1) = 4m^2 - 8m^2 + 8 = -4m^2 + 8$

$-4m^2 + 8 \geq 0$

$4m^2 \leq 8$

$m^2 \leq 2$

$-\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}$

(2) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = -2x + m$ が接する条件を求めます。

直線の式を円の式に代入すると、

$x^2 + (-2x + m)^2 = 5$

$x^2 + 4x^2 - 4mx + m^2 = 5$

$5x^2 - 4mx + m^2 - 5 = 0$

この二次方程式が重解をもつ条件は、判別式 $D = 0$ であることです。

$D = (-4m)^2 - 4(5)(m^2 - 5) = 16m^2 - 20m^2 + 100 = -4m^2 + 100$

$-4m^2 + 100 = 0$

$4m^2 = 100$

$m^2 = 25$

$m = \pm 5$

(3) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx + 3$ が共有点をもたない条件を求めます。

直線の式を円の式に代入すると、

$x^2 + (mx + 3)^2 = 1$

$x^2 + m^2x^2 + 6mx + 9 = 1$

$(1 + m^2)x^2 + 6mx + 8 = 0$

この二次方程式が実数解をもたない条件は、判別式 $D < 0$ であることです。

$D = (6m)^2 - 4(1 + m^2)(8) = 36m^2 - 32 - 32m^2 = 4m^2 - 32$

$4m^2 - 32 < 0$

$4m^2 < 32$

$m^2 < 8$

$-2\sqrt{2} < m < 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}$

(2) $m = \pm 5$

(3) $-2\sqrt{2} < m < 2\sqrt{2}$