複素数 $z$ が満たす方程式が与えられたとき、そのような $z$ 全体が表す図形を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) $|2z+1| = |2z-i|$ (2) $|z+3-4i| = 2$ (3) $(3z+2)(3\overline{z}+2) = 9$ (4) $(1+i)z+(1-i)\overline{z}+2=0$

1. 問題の内容

複素数 $z$ が満たす方程式が与えられたとき、そのような $z$ 全体が表す図形を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) $|2z+1| = |2z-i|$

(2) $|z+3-4i| = 2$

(3) $(3z+2)(3\overline{z}+2) = 9$

(4) $(1+i)z+(1-i)\overline{z}+2=0$

2. 解き方の手順

(1) $|2z+1| = |2z-i|$

両辺を2で割ると、$|z+\frac{1}{2}| = |z-\frac{i}{2}|$ となります。これは、点 $-\frac{1}{2}$ と点 $\frac{i}{2}$ から等距離にある点 $z$ の集合なので、$-\frac{1}{2}$ と $\frac{i}{2}$ を結ぶ線分の垂直二等分線となります。$-\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + 0i$ と $\frac{i}{2} = 0 + \frac{1}{2}i$ なので、傾き$m$は $\frac{\frac{1}{2}-0}{0-(-\frac{1}{2})}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$ 。したがって垂直二等分線の傾きは-1。中点座標は$(-\frac{1}{4},\frac{1}{4})$。ゆえに$y-\frac{1}{4} = -1(x+\frac{1}{4})$を整理すると$y = -x$です。

よって、$z=x+yi$とすると、$y=-x$を満たすので、$x+yi = x-xi = x(1-i)$ となります。

(2) $|z+3-4i| = 2$

$|z - (-3+4i)| = 2$ なので、これは点 $-3+4i$ を中心とする半径2の円です。

(3) $(3z+2)(3\overline{z}+2) = 9$

$9z\overline{z} + 6z + 6\overline{z} + 4 = 9$

$9z\overline{z} + 6(z + \overline{z}) = 5$

$z = x+yi$ とすると、$\overline{z} = x-yi$ なので、$z\overline{z} = x^2+y^2$ かつ $z+\overline{z} = 2x$

$9(x^2+y^2) + 6(2x) = 5$

$9x^2+12x + 9y^2 = 5$

$9(x^2+\frac{4}{3}x) + 9y^2 = 5$

$9(x^2+\frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2) + 9y^2 = 5 + 9(\frac{4}{9}) = 5 + 4 = 9$

$9(x+\frac{2}{3})^2 + 9y^2 = 9$

$(x+\frac{2}{3})^2 + y^2 = 1$

これは中心が $-\frac{2}{3}$ つまり $-\frac{2}{3}+0i$、半径1の円です。

(4) $(1+i)z+(1-i)\overline{z}+2=0$

$z = x+yi$ とすると、$\overline{z} = x-yi$ なので、

$(1+i)(x+yi) + (1-i)(x-yi) + 2 = 0$

$(x+yi+xi-y) + (x-yi-xi-y) + 2 = 0$

$x+yi+xi-y + x-yi-xi-y + 2 = 0$

$2x-2y+2=0$

$x-y+1 = 0$

$y = x+1$

これは直線です。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $y = -x$

(2) 中心 $-3+4i$, 半径2の円

(3) 中心 $-\frac{2}{3}$, 半径1の円

(4) 直線 $y = x+1$