問題は2つの部分から構成されています。 (ア) すべての $x$ に対して、$x^3 - 3x^2 + 7 = a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d$ となるような数 $a, b, c, d$ を求める問題。 (イ) $x - 3y - z = 3$ と $x + y + z = -5$ を満たす $x, y, z$ のすべての値に対して、$ax^2 + 2by^2 + cz^2 = 24$ が成り立つとき、$a, b, c$ の値を求める問題。 ここでは、(イ) の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(ア) すべての $x$ に対して、$x^3 - 3x^2 + 7 = a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d$ となるような数 $a, b, c, d$ を求める問題。

(イ) $x - 3y - z = 3$ と $x + y + z = -5$ を満たす $x, y, z$ のすべての値に対して、$ax^2 + 2by^2 + cz^2 = 24$ が成り立つとき、$a, b, c$ の値を求める問題。

ここでは、(イ) の問題を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$x - 3y - z = 3$ と $x + y + z = -5$ から $x$ と $z$ を $y$ で表します。

$x + y + z = -5$ より $z = -x - y - 5$ なので、$x - 3y - (-x - y - 5) = 3$。

これを整理すると $2x - 2y + 5 = 3$ となり、$2x = 2y - 2$ なので、$x = y - 1$。

$z = -x - y - 5$ に $x = y - 1$ を代入すると $z = -(y-1) - y - 5 = -2y - 4$。

$x = y - 1$ と $z = -2y - 4$ を $ax^2 + 2by^2 + cz^2 = 24$ に代入すると、

$a(y-1)^2 + 2by^2 + c(-2y-4)^2 = 24$。

これを展開すると、

$a(y^2 - 2y + 1) + 2by^2 + c(4y^2 + 16y + 16) = 24$。

$(a+2b+4c)y^2 + (-2a+16c)y + (a+16c) = 24$。

これがすべての $y$ について成り立つので、

$a + 2b + 4c = 0$

$-2a + 16c = 0$

$a + 16c = 24$

$-2a + 16c = 0$ より $a = 8c$。

$a + 16c = 24$ に代入すると $8c + 16c = 24$ より $24c = 24$ なので $c = 1$。

したがって $a = 8$。

$a + 2b + 4c = 0$ に代入すると $8 + 2b + 4(1) = 0$ より $2b = -12$ なので $b = -6$。

3. 最終的な答え

$a = 8, b = -6, c = 1$