複素数 $z$ が与えられ、$z \neq 2$ とする。 (1) 複素数平面上で、点 $\frac{z}{z-2}$ が虚軸上にあるように点 $z$ が動くとき、点 $z$ はどのような図形を描くか。 (2) 複素数平面上で、点 $\frac{z}{z-2}$ が虚軸上にあるような $z$ のうち、 $(1 - \sqrt{3}i)z$ の実部が最大となるようなものを $\alpha$ と表す。複素数 $\alpha$ および $\alpha^6$ を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位である。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が与えられ、$z \neq 2$ とする。

(1) 複素数平面上で、点 $\frac{z}{z-2}$ が虚軸上にあるように点 $z$ が動くとき、点 $z$ はどのような図形を描くか。

(2) 複素数平面上で、点 $\frac{z}{z-2}$ が虚軸上にあるような $z$ のうち、 $(1 - \sqrt{3}i)z$ の実部が最大となるようなものを $\alpha$ と表す。複素数 $\alpha$ および $\alpha^6$ を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位である。

2. 解き方の手順

(1)

$w = \frac{z}{z-2}$ とおく。$w$ が虚数であるとき、$w + \overline{w} = 0$ かつ $w \ne 0$ である。

$\frac{z}{z-2} + \frac{\overline{z}}{\overline{z}-2} = 0$

$\frac{z(\overline{z}-2) + \overline{z}(z-2)}{(z-2)(\overline{z}-2)} = 0$

$z\overline{z} - 2z + \overline{z}z - 2\overline{z} = 0$

$2z\overline{z} - 2(z+\overline{z}) = 0$

$z\overline{z} - (z+\overline{z}) = 0$

$z = x+iy$ とおくと、

$x^2 + y^2 - 2x = 0$

$(x-1)^2 + y^2 = 1$

これは中心 $1$, 半径 $1$ の円を表す。

ただし、$z \ne 2$ より、$z=2$ は除く。つまり、$x=2, y=0$ は除く。

$(x-1)^2 + y^2 = 1$ かつ $(x,y) \neq (2,0)$

(2)

$z = x+iy$ とおくと、$(1-\sqrt{3}i)z = (1-\sqrt{3}i)(x+iy) = (x+\sqrt{3}y) + i(y-\sqrt{3}x)$

実部は $x+\sqrt{3}y$

円 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(x,y)$ に対して $x+\sqrt{3}y$ を最大にする。

$x+\sqrt{3}y = k$ とおくと、$y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{k}{\sqrt{3}}$

円と直線が接するとき、$k$ は最大となる。

円の中心 $(1,0)$ と直線 $x+\sqrt{3}y-k = 0$ の距離は円の半径 $1$ に等しいので

$\frac{|1+\sqrt{3}\cdot 0 -k|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}} = 1$

$|1-k| = \sqrt{4} = 2$

$1-k = 2$ または $1-k = -2$

$k = -1$ または $k=3$

$k$ を最大にするには $k=3$

$x+\sqrt{3}y = 3$

円と直線の交点を求めると、

$(x-1)^2 + y^2 = 1$ より $x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$

$x^2 + y^2 = 2x$

$x+\sqrt{3}y = 3$ より $x = 3 - \sqrt{3}y$

$(3-\sqrt{3}y)^2 + y^2 = 2(3-\sqrt{3}y)$

$9 - 6\sqrt{3}y + 3y^2 + y^2 = 6 - 2\sqrt{3}y$

$4y^2 - 4\sqrt{3}y + 3 = 0$

$(2y-\sqrt{3})^2 = 0$

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = 3 - \sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

よって、$\alpha = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$\alpha^6 = (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)^6 = (\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i))^6 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3}/2)})^6 = (\sqrt{3}e^{i\pi/6})^6 = (\sqrt{3})^6 e^{i\pi} = 27(-1) = -27$

$(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^6 = ( \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 }e^{i arg(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)})^6 = ( \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}} e^{i \pi/6})^6 = (\sqrt{3} e^{i \pi/6})^6 = 3^3 e^{i \pi} = 27(-1) = -27$

3. 最終的な答え

(1) 中心 $1$, 半径 $1$ の円。ただし、$z=2$ を除く。

(2) $\alpha = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$\alpha^6 = -27$