$\theta$ に関する不等式 $2\cos^2\theta + 3\cos\theta + 1 \leq 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

$\theta$ に関する不等式 $2\cos^2\theta + 3\cos\theta + 1 \leq 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos\theta = x$ とおくと、与えられた不等式は

$2x^2 + 3x + 1 \leq 0$

と書き換えられます。

左辺を因数分解すると、

$(2x+1)(x+1) \leq 0$

となります。

この不等式を満たす $x$ の範囲は、

$-1 \leq x \leq -\frac{1}{2}$

です。

したがって、

$-1 \leq \cos\theta \leq -\frac{1}{2}$

となります。

$\cos\theta = -1$ となるのは $\theta = \pi$ のときです。

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{2}{3}\pi$ と $\theta = \frac{4}{3}\pi$ のときです。

$\theta$ の範囲が特に指定されていない場合は、一般解として $2n\pi$ を足す必要があります。

しかし、ここでは $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で考えます。

$\cos \theta$ は $\theta$ が増加するにつれて増加するため、$\frac{2}{3}\pi \leq \theta \leq \frac{4}{3}\pi$ が解となります。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}\pi \leq \theta \leq \frac{4}{3}\pi$