$(a+b+c)^6$ の展開式の異なる項の数を求めよ。

1. 問題の内容

$(a+b+c)^6$ の展開式の異なる項の数を求めよ。

2. 解き方の手順

これは、重複組合せの問題です。

$a, b, c$ の指数をそれぞれ $x, y, z$ とすると、$x+y+z = 6$ となる非負整数の組 $(x, y, z)$ の数を求めればよいことになります。

これは、6個の同じもの（例えば○）を3つの異なる箱（例えばa, b, cに対応する箱）に入れる場合の数に等しいです。

仕切り板を2枚用意して、6個の○と2枚の仕切り板を並べる順列の数を考えます。

例えば、○○|○○○|○という並びは、$a^2b^3c^1$ という項に対応します。

したがって、全部で $6+2 = 8$ 個のものを並べることになり、そのうち仕切り板の場所を選ぶ組み合わせの数だけの場合の数があります。

これは、8個の場所から2個を選ぶ組み合わせ $_8C_2$ で計算できます。

一般に、$n$ 個のものを $k$ 種類の箱に入れる場合の数は、重複組合せ ${}_{n+k-1}C_{n}$ で与えられます。

この問題では、$n = 6$ で、$k = 3$ なので、${}_{6+3-1}C_{6} = {}_8C_6$ を計算します。

${}_8C_6 = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

3. 最終的な答え

28