与えられた6つの2次関数について、最大値または最小値があれば、それらを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの2次関数について、最大値または最小値があれば、それらを求める問題です。

2. 解き方の手順

各2次関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。

$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形すると、

* $a > 0$ のとき、下に凸なグラフとなり、最小値 $q$ を $x=p$ でとります。最大値はありません。

* $a < 0$ のとき、上に凸なグラフとなり、最大値 $q$ を $x=p$ でとります。最小値はありません。

(1) $y=3x^2+2$

$y=3(x-0)^2+2$

頂点は $(0, 2)$、$a=3>0$ なので、最小値 $2$ ($x=0$のとき)。最大値はなし。

(2) $y=x^2-4x-4$

$y=(x^2-4x+4)-4-4$

$y=(x-2)^2-8$

頂点は $(2, -8)$、$a=1>0$ なので、最小値 $-8$ ($x=2$のとき)。最大値はなし。

(3) $y=-x^2-6x-3$

$y=-(x^2+6x+9)-3+9$

$y=-(x+3)^2+6$

頂点は $(-3, 6)$、$a=-1<0$ なので、最大値 $6$ ($x=-3$のとき)。最小値はなし。

(4) $y=3x^2+12x+5$

$y=3(x^2+4x+4)+5-12$

$y=3(x+2)^2-7$

頂点は $(-2, -7)$、$a=3>0$ なので、最小値 $-7$ ($x=-2$のとき)。最大値はなし。

(5) $y=-2x^2+3x-1$

$y=-2(x^2-\frac{3}{2}x)-1$

$y=-2(x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16})-1+\frac{9}{8}$

$y=-2(x-\frac{3}{4})^2+\frac{1}{8}$

頂点は $(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$、$a=-2<0$ なので、最大値 $\frac{1}{8}$ ($x=\frac{3}{4}$のとき)。最小値はなし。

(6) $y=-\frac{1}{2}x^2-x+1$

$y=-\frac{1}{2}(x^2+2x)+1$

$y=-\frac{1}{2}(x^2+2x+1)+1+\frac{1}{2}$

$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+\frac{3}{2}$

頂点は $(-1, \frac{3}{2})$、$a=-\frac{1}{2}<0$ なので、最大値 $\frac{3}{2}$ ($x=-1$のとき)。最小値はなし。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 2, 最大値: なし

(2) 最小値: -8, 最大値: なし

(3) 最小値: なし, 最大値: 6

(4) 最小値: -7, 最大値: なし

(5) 最小値: なし, 最大値: 1/8

(6) 最小値: なし, 最大値: 3/2