二次関数 $y = -2x^2 - 4x + 1$ の $-2 \le x < 1$ の範囲における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -2x^2 - 4x + 1$ の $-2 \le x < 1$ の範囲における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成する。

$y = -2x^2 - 4x + 1$

$y = -2(x^2 + 2x) + 1$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -2((x + 1)^2 - 1) + 1$

$y = -2(x + 1)^2 + 2 + 1$

$y = -2(x + 1)^2 + 3$

したがって、与えられた関数は頂点が $(-1, 3)$ で上に凸な放物線である。

次に、定義域 $-2 \le x < 1$ における関数の値の変化を考える。

頂点のx座標は $-1$ で、これは定義域に含まれる。

$x = -2$ のとき、$y = -2(-2 + 1)^2 + 3 = -2(-1)^2 + 3 = -2 + 3 = 1$

$x = 1$ のとき、$y = -2(1 + 1)^2 + 3 = -2(2)^2 + 3 = -8 + 3 = -5$

関数は $x = -1$ で最大値 $3$ をとる。

$x$ が $1$ に近づくにつれて、$y$ は $-5$ に近づくが、$x < 1$ なので $x = 1$ のときの値は含まれない。したがって、最小値は存在しない。

$x=-2$のとき、$y=1$なので、$-2 \le x < 1$ の範囲では最小値は存在しない。

3. 最終的な答え

最大値：$3$ ($x = -1$ のとき)

最小値：なし