与えられた2次関数 $y = -x^2 + 2x - 3$ について、x軸との共有点の有無を2つの方法で調べ、空欄ア～エに適切な数や言葉を記入する。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -x^2 + 2x - 3$ について、x軸との共有点の有無を2つの方法で調べ、空欄ア～エに適切な数や言葉を記入する。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $-x^2 + 2x - 3 = 0$ の解を求める。解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いる。

この方程式では、$a = -1$, $b = 2$, $c = -3$ であるから、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-2}$

よって、アには $\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-1)(-3)}}{-2}$ が入り、根号の中は $2^2 - 4(-1)(-3) = 4 - 12 = -8$ となるため、イには -8 が入る。根号の中が負の数であるため、解は存在しない。したがって、グラフとx軸との共有点はない。

(2) 2次関数 $y = -x^2 + 2x - 3$ の頂点を求める。

平方完成を行うと、

$y = -(x^2 - 2x) - 3 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) - 3 = -(x - 1)^2 + 1 - 3 = -(x - 1)^2 - 2$

したがって、頂点は $(1, -2)$ であるため、ウには $(1, -2)$ が入る。

$x^2$の係数が負であるため、グラフは上に凸の放物線となる。頂点のy座標が-2であるため、x軸との共有点を持たない。

よって、グラフは④のようになるため、エには④が入る。

3. 最終的な答え

(1) ア: $\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-1)(-3)}}{-2}$

イ: -8

(2) ウ: (1, -2)

エ: ④