$x = \sqrt{5} + \sqrt{2}$、 $y = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ のとき、以下の値を求めます。 (1) $xy$ (2) $x^2 - y^2$ (3) $x^2 + 2xy + y^2$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{5} + \sqrt{2}$、 $y = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ のとき、以下の値を求めます。

(1) $xy$

(2) $x^2 - y^2$

(3) $x^2 + 2xy + y^2$

2. 解き方の手順

(1) $xy$ を求めます。

$xy = (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})$

これは和と差の積の形なので、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

$xy = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

(2) $x^2 - y^2$ を求めます。

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ と因数分解できます。

$x+y = (\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{5}$

$x-y = (\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$

したがって、

$x^2 - y^2 = (2\sqrt{5})(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{10}$

(3) $x^2 + 2xy + y^2$ を求めます。

$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$ と因数分解できます。

$x+y = 2\sqrt{5}$ であることは(2)で求めた通りです。

したがって、

$x^2 + 2xy + y^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$

3. 最終的な答え

(1) $xy = 3$

(2) $x^2 - y^2 = 4\sqrt{10}$

(3) $x^2 + 2xy + y^2 = 20$