$\sum_{k=1}^{n-1} 2k$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n-1} 2k$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、総和記号の外に定数を取り出すことができます。

$\sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2\sum_{k=1}^{n-1} k$

次に、$\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$ という公式を利用します。この公式に$m = n-1$を代入します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)((n-1)+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$

よって、

$2\sum_{k=1}^{n-1} k = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$

3. 最終的な答え

$n(n-1) = n^2 - n$