(1) 第5項が48, 第7項が192である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題。 (2) 和 $5+8+11+\cdots+(3n+2)$ をシグマ記号を用いて表す問題。

1. 問題の内容

(1) 第5項が48, 第7項が192である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題。

(2) 和 $5+8+11+\cdots+(3n+2)$ をシグマ記号を用いて表す問題。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の一般項を$a_n = ar^{n-1}$と表す。

第5項が48なので、$a_5 = ar^4 = 48$。

第7項が192なので、$a_7 = ar^6 = 192$。

$ar^6 = 192$を$ar^4 = 48$で割ると、$\frac{ar^6}{ar^4} = \frac{192}{48}$となり、$r^2 = 4$。

したがって、$r = \pm 2$。

$r=2$のとき、$ar^4 = 48$より、$a(2^4) = 16a = 48$なので、$a = 3$。

よって、$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$。

$r=-2$のとき、$ar^4 = 48$より、$a((-2)^4) = 16a = 48$なので、$a = 3$。

よって、$a_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}$。

(2) 数列 $5, 8, 11, \dots, (3n+2)$ は初項5, 公差3の等差数列である。

一般項は $a_k = 5 + (k-1)3 = 3k + 2$ と表される。

したがって、$5+8+11+\cdots+(3n+2) = \sum_{k=1}^{n} (3k+2)$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ または $a_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (3k+2)$