$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$ $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

## 問題の内容

次の計算をしなさい。

(1) $\sqrt{18} - \frac{5}{2\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{50}}{3}$

(2) $\frac{3+\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \frac{2+\sqrt{8}}{\sqrt{6}}$

(3) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$

(4) $(\sqrt{3} - \sqrt{18})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \frac{24}{\sqrt{6}}$

## 解き方の手順

**(1)**

1. $\sqrt{18}$, $\sqrt{50}$ をそれぞれ簡単にします。

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

2. 式に代入します。

$3\sqrt{2} - \frac{5}{2\sqrt{2}} - \frac{5\sqrt{2}}{3}$

3. $\frac{5}{2\sqrt{2}}$を有利化します。

$\frac{5}{2\sqrt{2}} = \frac{5 \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{4}$

4. 式を整理します。

$3\sqrt{2} - \frac{5\sqrt{2}}{4} - \frac{5\sqrt{2}}{3}$

5. 通分して計算します。

$\frac{36\sqrt{2} - 15\sqrt{2} - 20\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{12}$

**(2)**

1. $\frac{3+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$と$\frac{2+\sqrt{8}}{\sqrt{6}}$をそれぞれ有利化します。

$\frac{3+\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{(3+\sqrt{2})\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{6}}{3}$

$\frac{2+\sqrt{8}}{\sqrt{6}} = \frac{2+2\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{(2+2\sqrt{2})\sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{12}}{6} = \frac{2\sqrt{6} + 4\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{6} + 2\sqrt{3}}{3}$

2. 式に代入します。

$\frac{3\sqrt{3} + \sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6} + 2\sqrt{3}}{3}$

3. 計算します。

$\frac{3\sqrt{3} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - 2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

**(3)**

1. それぞれ展開します。

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2$

$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2$

2. 式に代入します。

$(3 + 2\sqrt{6} + 2) + (3 - 2\sqrt{6} + 2)$

3. 計算します。

$3 + 2\sqrt{6} + 2 + 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 10$

**(4)**

1. $\sqrt{18}$ を簡単にします。

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

2. $(\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ を展開します。

$(\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - \sqrt{3}\sqrt{2} - 3\sqrt{2}\sqrt{3} + (3\sqrt{2})^2 = 3 - \sqrt{6} - 3\sqrt{6} + 6 = 9 - 4\sqrt{6}$

3. $\frac{24}{\sqrt{6}}$ を有利化します。

$\frac{24}{\sqrt{6}} = \frac{24\sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{24\sqrt{6}}{6} = 4\sqrt{6}$

4. 式に代入します。

$9 - 4\sqrt{6} + 4\sqrt{6}$

5. 計算します。

$9 - 4\sqrt{6} + 4\sqrt{6} = 9$

## 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2}}{12}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) $10$

(4) $9$