$a$ は定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($a \le x \le a+1$) について、以下の問いに答える。 (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($a \le x \le a+1$) について、以下の問いに答える。

(1) 最小値を求めよ。

(2) 最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 3$

このことから、この2次関数の軸は $x = 2$ であることがわかる。定義域は $a \le x \le a+1$ である。

(1) 最小値を求める。

定義域 $a \le x \le a+1$ と軸 $x = 2$ の位置関係で場合分けを行う。

(i) $a+1 < 2$ つまり $a < 1$ のとき

定義域内で関数は単調減少であるから、$x = a+1$ で最小値をとる。

$y = (a+1)^2 - 4(a+1) + 1 = a^2 + 2a + 1 - 4a - 4 + 1 = a^2 - 2a - 2$

(ii) $a \le 2 \le a+1$ つまり $1 \le a \le 2$ のとき

定義域内に軸が含まれるから、$x = 2$ で最小値をとる。

$y = (2-2)^2 - 3 = -3$

(iii) $2 < a$ のとき

定義域内で関数は単調増加であるから、$x = a$ で最小値をとる。

$y = a^2 - 4a + 1$

(2) 最大値を求める。

軸 $x=2$ から定義域の両端 $x=a$ と $x=a+1$ が等距離になる $x=\frac{a+a+1}{2}=a+\frac{1}{2}$ で考える。

$2 = a + \frac{1}{2}$より、$a=\frac{3}{2}$

(i) $a < \frac{3}{2}$ のとき

$a+1 - 2 > 2-a$ より、$x=a+1$ で最大値をとる。

$y = (a+1)^2 - 4(a+1) + 1 = a^2 - 2a - 2$

(ii) $a = \frac{3}{2}$ のとき

$x=\frac{3}{2}$の場合、$x=a$および$x=a+1$で最大値をとる。

$y = (a+1)^2 - 4(a+1) + 1 = a^2 - 2a - 2$

$y = a^2 - 4a + 1$

$a=\frac{3}{2}$のとき、$y = (\frac{3}{2})^2 - 4(\frac{3}{2}) + 1 = \frac{9}{4} - 6 + 1 = \frac{9-20}{4} = -\frac{11}{4}$

$y = (\frac{5}{2})^2 - 4(\frac{5}{2}) + 1 = \frac{25}{4} - 10 + 1 = \frac{25-36}{4} = -\frac{11}{4}$

(iii) $a > \frac{3}{2}$ のとき

$a+1 - 2 < 2-a$ より、$x=a$ で最大値をとる。

$y = a^2 - 4a + 1$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$a < 1$ のとき、$a^2 - 2a - 2$

$1 \le a \le 2$ のとき、$-3$

$2 < a$ のとき、$a^2 - 4a + 1$

(2) 最大値

$a < \frac{3}{2}$ のとき、$a^2 - 2a - 2$

$a = \frac{3}{2}$ のとき、$-\frac{11}{4}$

$a > \frac{3}{2}$ のとき、$a^2 - 4a + 1$