$x^4 - 49$ を、係数が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解せよ。

1. 問題の内容

$x^4 - 49$ を、係数が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 49$ を因数分解します。

$x^4 - 49 = (x^2)^2 - 7^2$ と見なせるので、和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を使います。

$x^4 - 49 = (x^2 + 7)(x^2 - 7)$

- 有理数の範囲での因数分解：

$x^2 - 7$ は、$\sqrt{7}$ が無理数なので、有理数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

したがって、有理数の範囲では

$x^4 - 49 = (x^2 + 7)(x^2 - 7)$

- 実数の範囲での因数分解：

$x^2 - 7 = (x + \sqrt{7})(x - \sqrt{7})$

$x^2 + 7$ は実数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

したがって、実数の範囲では

$x^4 - 49 = (x^2 + 7)(x + \sqrt{7})(x - \sqrt{7})$

- 複素数の範囲での因数分解：

$x^2 + 7 = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^2 = -7$

$x = \pm \sqrt{-7} = \pm i\sqrt{7}$

したがって、$x^2 + 7 = (x + i\sqrt{7})(x - i\sqrt{7})$

よって、複素数の範囲では

$x^4 - 49 = (x + \sqrt{7})(x - \sqrt{7})(x + i\sqrt{7})(x - i\sqrt{7})$

3. 最終的な答え

- 有理数: $(x^2 + 7)(x^2 - 7)$

- 実数: $(x^2 + 7)(x + \sqrt{7})(x - \sqrt{7})$

- 複素数: $(x + \sqrt{7})(x - \sqrt{7})(x + i\sqrt{7})(x - i\sqrt{7})$