2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{4}{\alpha}$ と $\frac{4}{\beta}$ を解にもち、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{4}{\alpha}$ と $\frac{4}{\beta}$ を解にもち、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ から、解と係数の関係を用いて $\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = - \frac{-4}{2} = 2$$

$$\alpha \beta = \frac{1}{2}$$

次に、求めたい2次方程式の解 $\frac{4}{\alpha}$ と $\frac{4}{\beta}$ の和と積を計算します。

$$\frac{4}{\alpha} + \frac{4}{\beta} = 4 \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \right) = 4 \left( \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \right) = 4 \left( \frac{2}{\frac{1}{2}} \right) = 4 \times 4 = 16$$

$$\frac{4}{\alpha} \cdot \frac{4}{\beta} = \frac{16}{\alpha \beta} = \frac{16}{\frac{1}{2}} = 16 \times 2 = 32$$

$x^2$ の係数が1である2次方程式は、$x^2 - (\text{2つの解の和})x + (\text{2つの解の積}) = 0$ で表されます。

したがって、求める2次方程式は

$$x^2 - 16x + 32 = 0$$

3. 最終的な答え

$x^2 - 16x + 32 = 0$