二次方程式 $2x^2 + 8x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{2}{\alpha}$ と $\frac{2}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である二次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

二次方程式 $2x^2 + 8x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{2}{\alpha}$ と $\frac{2}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である二次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次方程式 $2x^2 + 8x + 1 = 0$ の解と係数の関係を求める。解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -\frac{8}{2} = -4$$

$$\alpha\beta = \frac{1}{2}$$

次に、求める二次方程式の解である $\frac{2}{\alpha}$ と $\frac{2}{\beta}$ の和と積を計算する。

$$\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = \frac{2\beta + 2\alpha}{\alpha\beta} = \frac{2(\alpha + \beta)}{\alpha\beta} = \frac{2(-4)}{\frac{1}{2}} = -16$$

$$\frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = \frac{4}{\alpha\beta} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$$

求める二次方程式を $x^2 + ax + b = 0$ とすると、解と係数の関係から、

$$-a = \frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = -16$$

$$b = \frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = 8$$

したがって、$a = 16, b = 8$ となり、求める二次方程式は $x^2 + 16x + 8 = 0$ である。

3. 最終的な答え

$x^2 + 16x + 8 = 0$