$I = 3\sin\theta\cos\theta - \sin\theta - \cos\theta$、 $x = \sin\theta + \cos\theta$ とする。 $I$ を $x$ の式で表し、$x$ の値の範囲を求め、$I$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$I = 3\sin\theta\cos\theta - \sin\theta - \cos\theta$、 $x = \sin\theta + \cos\theta$ とする。

$I$ を $x$ の式で表し、$x$ の値の範囲を求め、$I$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$I$ を $x$ の式で表す。

$x = \sin\theta + \cos\theta$ より、

$x^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$

したがって、$\sin\theta\cos\theta = \frac{x^2 - 1}{2}$

$I = 3\sin\theta\cos\theta - (\sin\theta + \cos\theta) = 3(\frac{x^2 - 1}{2}) - x = \frac{3}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}$

次に、$x$ の値の範囲を求める。

$x = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$-1 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$ なので、$-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$

最後に、$I$ の最大値と最小値を求める。

$I = \frac{3}{2}x^2 - x - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}(x^2 - \frac{2}{3}x) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{9} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{6} - \frac{9}{6} = \frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{10}{6} = \frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{5}{3}$

$x = \frac{1}{3}$ のとき、最小値 $-\frac{5}{3}$ をとる。

$x = -\sqrt{2}$ のとき、$I = \frac{3}{2}(-\sqrt{2})^2 - (-\sqrt{2}) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \cdot 2 + \sqrt{2} - \frac{3}{2} = 3 + \sqrt{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}$ のとき、$I = \frac{3}{2}(\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \cdot 2 - \sqrt{2} - \frac{3}{2} = 3 - \sqrt{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \sqrt{2}$

$x = -\sqrt{2}$ で最大値 $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$ をとる。

3. 最終的な答え

$I = \frac{3}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}$

$-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$

最大値: $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$

最小値: $-\frac{5}{3}$