$(a + \frac{b}{2} + 3c)^8$ の展開式における $a^3b^3c^2$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(a + \frac{b}{2} + 3c)^8$ の展開式における $a^3b^3c^2$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を利用します。

$(x_1 + x_2 + ... + x_m)^n$ の展開式における $x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_m^{n_m}$ の項の係数は $\frac{n!}{n_1!n_2!...n_m!}$ です。ただし、$n_1 + n_2 + ... + n_m = n$です。

この問題の場合、$x_1 = a, x_2 = \frac{b}{2}, x_3 = 3c, n = 8, n_1 = 3, n_2 = 3, n_3 = 2$ となります。

$a^3 (\frac{b}{2})^3 (3c)^2$ の係数を計算します。

まず、多項定理の公式から、係数は

$$\frac{8!}{3!3!2!}$$

です。

次に、$(\frac{b}{2})^3$ の係数は $\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ であり、$(3c)^2$ の係数は $3^2 = 9$ です。

よって、$a^3b^3c^2$ の項の係数は、

$$\frac{8!}{3!3!2!} \times \frac{1}{8} \times 9 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(6 \times 6 \times 2)} \times \frac{1}{8} \times 9 = 560 \times \frac{9}{8} = 70 \times 9 = 630 \times 4 = 630 \times \frac{9}{8} =70 \times 9$$

$$\frac{8!}{3!3!2!} \times (\frac{1}{2})^3 \times (3)^2 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{8} \cdot 9 = 560 \cdot \frac{1}{8} \cdot 9 = 70 \cdot 9 = 630$$

3. 最終的な答え

630