与えられた6つの2次式を複素数の範囲で因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた6つの2次式を複素数の範囲で因数分解します。

2. 解き方の手順

各2次式 $ax^2 + bx + c$ に対して、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて解を求め、その解を $\alpha, \beta$ とすると、因数分解は $a(x-\alpha)(x-\beta)$ となります。

(1) $2x^2 - 17x - 69$

解の公式より、

$x = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4(2)(-69)}}{2(2)} = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 552}}{4} = \frac{17 \pm \sqrt{841}}{4} = \frac{17 \pm 29}{4}$

$x_1 = \frac{17 + 29}{4} = \frac{46}{4} = \frac{23}{2}$

$x_2 = \frac{17 - 29}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

因数分解は $2(x - \frac{23}{2})(x + 3) = (2x - 23)(x+3)$

(2) $x^2 - 2x - 1$

解の公式より、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

因数分解は $(x - (1+\sqrt{2}))(x - (1-\sqrt{2}))$

(3) $x^2 - 2x + 2$

解の公式より、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$

因数分解は $(x - (1+i))(x - (1-i))$

(4) $x^2 + 4$

$x^2 = -4$ より $x = \pm 2i$

因数分解は $(x - 2i)(x + 2i)$

(5) $2x^2 + 4x - 1$

解の公式より、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$

因数分解は $2(x - \frac{-2+\sqrt{6}}{2})(x - \frac{-2-\sqrt{6}}{2}) = 2(x - (\frac{-2+\sqrt{6}}{2}))(x - (\frac{-2-\sqrt{6}}{2}))$

(6) $2x^2 - 3x + 2$

解の公式より、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(2)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{4} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{4}$

因数分解は $2(x - \frac{3 + i\sqrt{7}}{4})(x - \frac{3 - i\sqrt{7}}{4})$

3. 最終的な答え

(1) $(2x - 23)(x+3)$

(2) $(x - (1+\sqrt{2}))(x - (1-\sqrt{2}))$

(3) $(x - (1+i))(x - (1-i))$

(4) $(x - 2i)(x + 2i)$

(5) $2(x - (\frac{-2+\sqrt{6}}{2}))(x - (\frac{-2-\sqrt{6}}{2}))$

(6) $2(x - \frac{3 + i\sqrt{7}}{4})(x - \frac{3 - i\sqrt{7}}{4})$