与えられた2次関数の定義域における最大値と最小値を求める問題です。今回は問題(4) $y = x^2 - 2x + 2$ ($-1 < x < 2$) を解きます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数の定義域における最大値と最小値を求める問題です。今回は問題(4) $y = x^2 - 2x + 2$ ($-1 < x < 2$) を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 - 1 + 2 = (x - 1)^2 + 1$

これは、頂点が $(1, 1)$ で、下に凸の放物線です。

次に、定義域 $-1 < x < 2$ を考慮します。頂点の$x$座標$x=1$は定義域に含まれています。

$x = 1$ のとき、$y = (1 - 1)^2 + 1 = 1$ となり、これは最小値となります。

次に、定義域の端の$x = -1$と$x = 2$における $y$ の値を調べます。

$x = -1$ のとき、$y = (-1 - 1)^2 + 1 = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$ となりますが、定義域に$-1$は含まれないため、$x$が$-1$に近づくときに$y$は$5$に近づきます。したがって、最大値は存在しません。

$x = 2$ のとき、$y = (2 - 1)^2 + 1 = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$ となりますが、定義域に$2$は含まれないため、$x$が$2$に近づくときに$y$は$2$に近づきます。したがって、最大値は存在しません。

3. 最終的な答え

最小値: $x = 1$ のとき、$y = 1$

最大値: なし