与えられた分数の分母を有理化し、指定された形式で答える問題です。分数は $\frac{8-\sqrt{5}}{8+\sqrt{5}}$ であり、答えの形式は $\frac{\text{アイ} - 16\sqrt{5}}{\text{ウエ}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化し、指定された形式で答える問題です。分数は $\frac{8-\sqrt{5}}{8+\sqrt{5}}$ であり、答えの形式は $\frac{\text{アイ} - 16\sqrt{5}}{\text{ウエ}}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役である $8-\sqrt{5}$ を分子と分母に掛けます。

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\frac{8-\sqrt{5}}{8+\sqrt{5}} = \frac{(8-\sqrt{5})(8-\sqrt{5})}{(8+\sqrt{5})(8-\sqrt{5})}

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分母を計算します。

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(8+\sqrt{5})(8-\sqrt{5}) = 8^2 - (\sqrt{5})^2 = 64 - 5 = 59

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分子を計算します。

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(8-\sqrt{5})(8-\sqrt{5}) = (8-\sqrt{5})^2 = 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 64 - 16\sqrt{5} + 5 = 69 - 16\sqrt{5}

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したがって、

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\frac{8-\sqrt{5}}{8+\sqrt{5}} = \frac{69 - 16\sqrt{5}}{59}

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指定された形式 $\frac{\text{アイ} - 16\sqrt{5}}{\text{ウエ}}$ と比較すると、アイ = 69、ウエ = 59 であることがわかります。

3. 最終的な答え

アイ = 69

ウエ = 59