実数 $a, b, c$ が $a+b+c = 1$ および $a^2 + b^2 + c^2 = 13$ を満たすとき、 (1) $ab + bc + ca$ の値を求め、それを利用して $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$ の値を求める。 (2) $a-b = 2\sqrt{5}$ の場合に、$b-c = x, c-a = y$ とおいて、$x+y$ および $x^2+y^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ が $a+b+c = 1$ および $a^2 + b^2 + c^2 = 13$ を満たすとき、

(1) $ab + bc + ca$ の値を求め、それを利用して $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$ の値を求める。

(2) $a-b = 2\sqrt{5}$ の場合に、$b-c = x, c-a = y$ とおいて、$x+y$ および $x^2+y^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)$ である。

$a+b+c = 1$ および $a^2 + b^2 + c^2 = 13$ を代入すると、

$1^2 = 13 + 2(ab+bc+ca)$

$1 = 13 + 2(ab+bc+ca)$

$2(ab+bc+ca) = -12$

$ab+bc+ca = -6$

次に、

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2$

$= 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab+bc+ca)$

$= 2(13) - 2(-6)$

$= 26 + 12$

$= 38$

(2)

$b-c = x, c-a = y$ とおくと、$x+y = b-c+c-a = b-a = -(a-b) = -2\sqrt{5}$

したがって、$x+y = -2\sqrt{5}$

また、$x^2 + y^2 = (b-c)^2 + (c-a)^2 = (b-c)^2 + (c-a)^2 + (a-b)^2 - (a-b)^2 = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 - (a-b)^2$

$= 38 - (2\sqrt{5})^2 = 38 - 4(5) = 38 - 20 = 18$

したがって、$x^2 + y^2 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $ab+bc+ca = -6$

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 38$

(2) $x+y = -2\sqrt{5}$

$x^2 + y^2 = 18$