3次方程式 $x^3 - 3x + 1 = 0$ が負の解を持つことを示してください。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x + 1 = 0$ が負の解を持つことを示してください。

2. 解き方の手順

方程式 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ とおきます。負の解を持つことを示すためには、$f(x)$ がある負の値で正の値を取り、別の負の値で負の値を取ることを示せば、中間値の定理により、その間に解が存在することがわかります。

まず、$x=0$ のとき、$f(0) = 0^3 - 3(0) + 1 = 1$ となり、正の値です。

次に、$x=-1$ のとき、$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$ となり、正の値です。

次に、$x=-2$ のとき、$f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1$ となり、負の値です。

$x = -2$ のとき $f(-2) = -1 < 0$ であり、$x = -1$ のとき $f(-1) = 3 > 0$ です。

したがって、中間値の定理より、$-2$ と $-1$ の間に少なくとも1つの解が存在します。

3. 最終的な答え

中間値の定理により、$-2 < x < -1$ の範囲に少なくとも一つの解が存在するため、$x^3 - 3x + 1 = 0$ は負の解を持つことが示されました。