与えられた式の分母を有理化し、「オ」と「カキ」にあてはまる値を求める問題です。与えられた式は、 $\frac{1}{\sqrt{5}+1+\sqrt{6}}$ であり、変形後の式は、 $\frac{\text{オ}+\sqrt{5}-\sqrt{30}}{\text{カキ}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式の分母を有理化し、「オ」と「カキ」にあてはまる値を求める問題です。与えられた式は、

$\frac{1}{\sqrt{5}+1+\sqrt{6}}$

であり、変形後の式は、

$\frac{\text{オ}+\sqrt{5}-\sqrt{30}}{\text{カキ}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、分母を$(\sqrt{5}+1)$と$\sqrt{6}$に分けて考え、$(\sqrt{5}+1)-\sqrt{6}$を分母分子にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5}+1+\sqrt{6}} = \frac{1}{(\sqrt{5}+1)+\sqrt{6}} \times \frac{(\sqrt{5}+1)-\sqrt{6}}{(\sqrt{5}+1)-\sqrt{6}}$

$= \frac{\sqrt{5}+1-\sqrt{6}}{(\sqrt{5}+1)^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{5}+1-\sqrt{6}}{(5+2\sqrt{5}+1)-6} = \frac{\sqrt{5}+1-\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$

次に、分母にある$\sqrt{5}$を消すために、分母分子に$\sqrt{5}$をかけます。

$\frac{\sqrt{5}+1-\sqrt{6}}{2\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5}+1-\sqrt{6})\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{5+\sqrt{5}-\sqrt{30}}{10}$

よって、$\frac{5+\sqrt{5}-\sqrt{30}}{10}$ と $\frac{\text{オ}+\sqrt{5}-\sqrt{30}}{\text{カキ}}$ を比較すると、

オ = 5

カキ = 10

となります。

3. 最終的な答え

オ = 5

カキ = 10