実数 $a, b, c$ が $a+b+c=1$ および $a^2+b^2+c^2=13$ を満たすとき、以下の値を求める問題です。 (1) $ab+bc+ca$ の値、 $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ の値 (2) $a-b = 2\sqrt{5}$ の場合に、$b-c=x, c-a=y$ とおいたとき、$x+y$ の値、$x^2+y^2$ の値、$(a-b)(b-c)(c-a)$ の値

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ が $a+b+c=1$ および $a^2+b^2+c^2=13$ を満たすとき、以下の値を求める問題です。

(1) $ab+bc+ca$ の値、 $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ の値

(2) $a-b = 2\sqrt{5}$ の場合に、$b-c=x, c-a=y$ とおいたとき、$x+y$ の値、$x^2+y^2$ の値、$(a-b)(b-c)(c-a)$ の値

2. 解き方の手順

(1)

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ の展開式を利用する。

$a+b+c=1$ より、 $(a+b+c)^2 = 1^2 = 1$

$a^2+b^2+c^2=13$ なので、

$1 = 13 + 2(ab+bc+ca)$

$2(ab+bc+ca) = 1-13 = -12$

$ab+bc+ca = -6$

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = 2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca)$

$= 2(13) - 2(-6) = 26 + 12 = 38$

(2)

$b-c = x, c-a = y$ とおく。

$a-b = 2\sqrt{5}$ であるから、

$x+y = (b-c) + (c-a) = b - a = -(a-b) = -2\sqrt{5}$

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = (2\sqrt{5})^2 + x^2 + y^2 = 38$

$20 + x^2 + y^2 = 38$

$x^2 + y^2 = 18$

$a-b+b-c+c-a = 0$

$a-b + x + y = 0$

$2\sqrt{5} + x + y = 0$

$x+y = -2\sqrt{5}$

$x^2 + y^2 + 2xy = (x+y)^2 = (-2\sqrt{5})^2 = 20$

$18 + 2xy = 20$

$2xy = 2$

$xy = 1$

$a-b = 2\sqrt{5}$

$b-c = x$

$c-a = y$

$(a-b)(b-c)(c-a) = (2\sqrt{5})(x)(y) = 2\sqrt{5} xy = 2\sqrt{5}(1) = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1)

$ab+bc+ca = -6$

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = 38$

(2)

$x+y = -2\sqrt{5}$

$x^2+y^2 = 18$

$(a-b)(b-c)(c-a) = 2\sqrt{5}$